Hoe een 2x3 matrix op te lossen

Een stelsel van vergelijkingen is een verzameling van twee of meer vergelijkingen die een reeks onbekenden delen en daarom een gemeenschappelijke oplossing hebben. Voor een lineaire vergelijking, waarvan de grafiek een rechte lijn is, is de gemeenschappelijke oplossing voor een systeem het punt waar de lijnen elkaar kruisen. Matrices kunnen helpen bij het herschrijven en oplossen van lineaire systemen.

Inhoud

Stappen
Deel 1
Deel 2
Tips

stappen

Deel 1

Begrijpt de basisprincipes

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 1

Ken de terminologie. Lineaire vergelijkingen hebben verschillende componenten. De variabele (of onbekend) is een symbool (meestal een letter zoals x of y) dat staat voor een getal dat nog onbekend is. De constante is een getal dat consistent blijft. De coëfficiënt is een getal dat vóór een variabele wordt geplaatst en wordt gebruikt om het te vermenigvuldigen.

In de lineaire vergelijking 2x + 4y = 8 zijn bijvoorbeeld x en y variabelen. De constante is 8. Nummers 2 en 4 zijn coëfficiënten.

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 2

Herken de vorm van een systeem van vergelijkingen. Een systeem van vergelijkingen met twee variabelen kan als volgt worden geschreven: ax + by = pcx + dy = q Elk van de constanten (p, q) kan nul zijn, maar elke vergelijking moet ten minste één variabele (x, y) hebben erin

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 3

Begrijp de matrixvergelijkingen. Wanneer u een lineair systeem hebt, kunt u matrices gebruiken om het te herschrijven en vervolgens de algebraïsche eigenschappen van die matrix gebruiken om het op te lossen. Om een lineair systeem te herschrijven, gebruikt u A om de coëfficiëntmatrix weer te geven, C om de matrix van constanten weer te geven en X om de matrix van onbekenden weer te geven.

Het vorige lineaire systeem kan bijvoorbeeld op de volgende manier worden herschreven als een matrixvergelijking: A x X = C.

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 4

Begrijp de uitgebreide matrices. Een uitgebreide matrix is een matrix die wordt verkregen door de kolommen van twee matrices samen te voegen. Als je twee matrices hebt, A en C, ziet dat er zo uit: Je kunt een uitgebreide matrix maken door beide matrices samen te voegen. De uitgebreide matrix ziet er als volgt uit:

Overweeg bijvoorbeeld het volgende lineaire systeem:
2x + 4y = 8
x + y = 2
Uw augmented matrix zou een 2x3 matrix zijn die er als volgt uitziet:

Deel 2

Transformeert de augmented matrix om het systeem op te lossen

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 5

Begrijpt elementaire operaties. U kunt bepaalde bewerkingen op een matrix uitvoeren om deze te transformeren en tegelijkertijd een matrix te behouden die gelijk is aan het origineel. Dit worden elementaire operaties genoemd. Om een 2x3-matrix op te lossen, gebruikt u bijvoorbeeld de elementaire rijbewerkingen om deze in een driehoekige matrix te transformeren. De elementaire operaties zijn:

Wissel twee rijen uit.
Vermenigvuldig een rij met een constante anders dan nul.
Vermenigvuldig één rij en voeg vervolgens een nieuwe rij toe.

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 6

Vermenigvuldig de tweede rij met een niet-nul getal. Je moet een nul produceren in je tweede rij, dus vermenigvuldig de eerste rij met een getal waarmee je dat kunt doen.

Stel dat u een matrix hebt die er als volgt uitziet:

U kunt de eerste rij hetzelfde houden en gebruiken om een nul te produceren op de tweede rij. Om dit te doen, vermenigvuldig je eerst de tweede rij met twee als volgt:

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 7

Vermenigvuldig opnieuw. Om een nul te krijgen in de eerste rij, moet je misschien opnieuw vermenigvuldigen met hetzelfde principe.

In het vorige voorbeeld vermenigvuldigt u de tweede rij met -1 als volgt:

Wanneer u de vermenigvuldiging heeft gedaan, ziet uw nieuwe matrix er als volgt uit:

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 8

Voeg de eerste rij toe aan de tweede. Voeg vervolgens de eerste rij toe aan de tweede om een nul te produceren in de eerste kolom van de tweede rij.

Voeg in het vorige voorbeeld de twee rijen op de volgende manier toe:

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 9

Noteer het nieuwe lineaire systeem voor de driehoekige matrix. Nu heb je een driehoekige matrix. U kunt die matrix gebruiken om een nieuw lineair systeem te verkrijgen. De eerste kolom komt overeen met de variabele x en de tweede kolom komt overeen met variabele y. De derde kolom komt overeen met de onafhankelijke term van een vergelijking.

Voor het vorige voorbeeld zou uw nieuwe systeem er als volgt uit moeten zien:

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 10

Zoek een van de variabelen. Gebruik het nieuwe systeem om te bepalen welke variabele u eenvoudig kunt oplossen en de waarde ervan kunt vinden.

In het vorige voorbeeld moet je "naar achteren oplossen", van de laatste vergelijking naar de eerste gaan om de waarden van de onbekenden te vinden. De tweede vergelijking is eenvoudig op te lossen om y te vinden - sinds je x hebt verwijderd, kun je zien dat y = 2.

Titel afbeelding Solve a 2x3 Matrix Step 11

Substituut om de tweede variabele te vinden. Nadat u een van de variabelen hebt bepaald, kunt u de waarde ervan in een andere vergelijking vervangen om de andere variabele te vinden.

Vervang in het vorige voorbeeld de y van de eerste vergelijking door 2 om de waarde van x op de volgende manier te verkrijgen:

tips

De elementen die zich in de matrix bevinden, worden meestal `scalairen` genoemd.
Vergeet niet dat u, om een 2x3-matrix op te lossen, alleen elementaire rijenbewerkingen moet gebruiken. U kunt geen kolombewerkingen gebruiken.

Meer weergeven ... (1)

Delen op sociale netwerken:

Verwant