Hoe een herhalingsrelatie op te lossen

Wanneer het proberen om een ​​formule voor een aantal wiskundige sequentie vinden een gemeenschappelijke tussenstap heeft ten doel de n (n) niet afhankelijk van n, maar in termen van de componenten van een voorgaande reeks zijn. Hoewel bijvoorbeeld het leuk zou zijn om een ​​functie in gesloten vorm hebben in de Nde Fibonacci soms hebben we slechts de recursierelatie, dus elke term van de Fibonacci sequentie de som van de twee termen boven. In dit artikel presenteren we verschillende methoden om een ​​formule af te leiden uit de gesloten vorm van een recidief.

stappen

Methode 1

2

Omdat elke term 3 keer meer is dan de vorige term, kan deze worden uitgedrukt als een recidief zoals aangetoond.

3

Erken dat elke reeks in de vorm van een_n = a_n-1 + d is een rekenkundige reeks.

4

Schrijf de gesloten vorm van de formule van een rekenkundige reeks, mogelijk met onbekenden zoals aangetoond.

5

Los de onbekenden op afhankelijk van hoe de reeks begon. In dit geval, omdat 5 de term 0 was, is de formule a_n = 5 + 3n. Als je in plaats daarvan wilde dat 5 de eerste term was, zou je krijgen_n = 2 + 3n.

Methode 2

2

Omdat elke term twee keer zo veel is als de vorige term, kan deze worden uitgedrukt als een herhaling zoals aangetoond.

3

Erkent dat een herhaling van het formulier naar_n = r * a_n-1 Het is een geometrische reeks.

4

Schrijf de gesloten vorm van de formule voor een geometrische reeks, mogelijk met onbekenden zoals aangetoond.

5

Los een onbekende op afhankelijk van hoe de reeks begon. In dit geval, omdat de 3 de term 0 was, is de formule a_n = 3 * 2. Als je in plaats daarvan 3 de eerste term zou willen zijn, zou je dat krijgen_n = 3 * 2.

Methode 3

2

Elke herhaling van de getoonde vorm, waarbij p (n) een polynoom in n is, heeft een gesloten veeltermformule van graad één groter dan de graad van p.

3

Schrijf de algemene vorm van een polynoom van de vereiste graad. In dit voorbeeld is p kwadratisch, dus we hebben een kubus nodig die de reeks voorstelt_n.

4

Omdat een kubus 4 onbekende coëfficiënten heeft, zijn 4 termen van de reeks vereist om het resulterende systeem te verkrijgen. Ofwel 4 kan worden gebruikt, zodat de termen 0, 1, 2 en 3. Laat herhaling achteren zoek naar de term -1podría systeem gemakkelijker op te lossen, maar niet noodzakelijk is.

5

Los het resulterende systeem van deg (p) +2-vergelijkingen op in deg (p) = 2 onbekenden zoals aangetoond.

6

Als het een van de bewoordingen waarin de coëfficiënten resultaten in de termijn van constante vrije polynoom lossen en kan het systeem ° (p) 1 deg vergelijkingen (p) 1 onbekenden onmiddellijk verminderen weergegeven.

7

Los het stelsel van lineaire vergelijkingen op om c te vinden₃ = 1/3, c₂ = -5/2, c₁ = -17/6 en c = 5. Presenteert de gesloten formule voor a_nals een polynoom met bekende coëfficiënten.

Methode 4

2

Schrijf de veeltermkenmerken van een recidief. Dit wordt gevonden door elk te vervangen_n in de herhaling door x en delen door xdejando een mononische polynoom van graad k en een constante term die niet nul is.

3

Los het kenmerkende polynoom op. In dit geval heeft het kenmerk een graad 2, zodat we de kwadratische formule kunnen gebruiken om de wortels te vinden.

4

Elke uitdrukking van de getoonde vorm voldoet aan de herhaling. De c_ikis een constante en de basis van de exponenten zijn de wortels van het kenmerk dat hierboven is gevonden. Dit kan worden geverifieerd door inductie.

5

Vind de c_ikdie voldoet aan de opgegeven initiële voorwaarden. Net als in het voorbeeld van de polynoom gebeurt dit door een lineair vergelijkingssysteem van de beginvoorwaarden te maken. Omdat dit voorbeeld twee onbekenden heeft, hebben we twee termen nodig. Elk paar termen werkt, dus neem de 0 en 1 om te voorkomen dat je een irrationeel getal naar een hoog vermogen moet tillen.

6

Los het resulterende systeem van vergelijkingen op.

7

Verbind de resulterende constanten in de algemene formule als de oplossing.

Methode 5

2

Schrijf de gegenereerde functie van de reeks. Een genererende functie is eenvoudig een reeks formele krachten waarbij de coëfficiënt van x de term n van de reeks is.

3

Bewerk de genererende functie zoals weergegeven. Het doel van deze stap is om een ​​vergelijking te vinden waarmee we de genererende functie A (x) kunnen oplossen. Pak de beginperiode uit. Pas de herhalingsrelatie toe op de resterende termen. Deel de som. Algemene voorwaarden extraheren. Gebruik de definitie van A (x). Gebruik de formule voor de som van geometrische reeksen.

4

Zoek de genererende functie A (x).

5

Zoek de coëfficiënt van x in A (x). Werkwijzen hiervoor variabel uiterlijk exact zoals A (x), maar de methode van gedeeltelijke fracties, samen met kennis van de genererende functie van een meetkundige rij functioneert als zijn.

6

Schrijf de formule voor a_ndoor de coëfficiënt van x in A (x) te identificeren.