Hoe om polynomen van de tweede graad te factor (kwadratische vergelijkingen)
Een polynoom bevat een variabele (x) verhoogd tot een macht (een graad genoemd) en verschillende termen of constanten. Het berekenen van een polynoom betekent dat de uitdrukking in een kleinere wordt ontbonden met termen die elkaar vermenigvuldigen. Factoring is een algebra I-vaardigheid of hoger en daarom kan het voor u moeilijk zijn om te begrijpen of uw wiskundige vaardigheden niet op dat niveau zijn.
Inhoud
- Stappen
- Methode 1trial en error
- Methode 2ontleding
- Methode 3drievoudig spel
- Methode 4verschil van twee vierkanten
- Methode 5kwadratische formule
- Methode 6met een rekenmachine
stappen
Basisbegrippen
1
Schrijf de uitdrukking De standaardvorm van een kwadratische vergelijking is:
ax + bx + c = 0
Begin met het bestellen van de termen van de vergelijking van het grootste vermogen tot het kleinst, zoals in het vorige formaat. Bijvoorbeeld:
6 + 6x + 13x = 0
Herrangschik de expressie om gemakkelijker de voorwaarden te organiseren:
6x + 13x + 6 = 0
Begin met het bestellen van de termen van de vergelijking van het grootste vermogen tot het kleinst, zoals in het vorige formaat. Bijvoorbeeld:
Herrangschik de expressie om gemakkelijker de voorwaarden te organiseren:
2
Zoek de gefactureerde vorm op met behulp van een van de methoden die hieronder worden besproken. Factoring van de polynomiale resultaten in twee kleinere expressies die zich vermenigvuldigen om het oorspronkelijke polynoom te produceren:
6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In dit voorbeeld zijn (2x +3) en (3x + 2) factoren van de oorspronkelijke uitdrukking, 6x + 13x + 6.
In dit voorbeeld zijn (2x +3) en (3x + 2) factoren van de oorspronkelijke uitdrukking, 6x + 13x + 6.
3
Controleer je werk! Vermenigvuldig de factoren van expressie. Voeg vervolgens de vergelijkbare termen toe en vink deze aan. Begin met:
(2x + 3) (3x + 2)
Laten we het eens bekijken, de termen in de volgende volgorde vermenigvuldigen, eerst met de eerste, eerst met de tweede, tweede met de eerste en de tweede met de tweede, wat ons het volgende geeft:
6x + 4x + 9x + 6
Vanaf hier kunnen we 4x en 9x toevoegen, omdat het vergelijkbare termen zijn. We weten dat de factoren correct zijn, want als we werken, krijgen we de eerste vergelijking:
6x + 13x + 6
Laten we het eens bekijken, de termen in de volgende volgorde vermenigvuldigen, eerst met de eerste, eerst met de tweede, tweede met de eerste en de tweede met de tweede, wat ons het volgende geeft:
Vanaf hier kunnen we 4x en 9x toevoegen, omdat het vergelijkbare termen zijn. We weten dat de factoren correct zijn, want als we werken, krijgen we de eerste vergelijking:
Methode 1
Trial en error
Als je een vrij eenvoudige veelterm hebt, kun je de factoren misschien in één oogopslag ontdekken. Bijvoorbeeld, met een beetje oefening, weten veel wiskundigen dat de uitdrukking 4x + 4x + 1 heeft factoren (2x + 1) en (2x + 1) gewoon omdat ik het vele malen (natuurlijk niet zo gemakkelijk met meer gecompliceerde veeltermen) hebben gezien. Laten we voor dit voorbeeld een minder algemene uitdrukking gebruiken:
1
Noem de factoren van de term a en c. Het formaat gebruiken ax + bx + c = 0, identificeer de termen a en c en vermeld de factoren. Voor 3x + 2x - 8 betekent dat:
a = 3 en heeft een enkele reeks factoren: 1 * 3
c = -8 en heeft vier sets factoren: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 en -1 * 8.
2
Schrijf twee sets haakjes met een lege spatie. In de lege ruimte zet je de constanten van elke expressie.
(x) (x)
3
Vul de lege plekken in met een aantal mogelijke waardefactoren a. Voor de termijn Naar ons voorbeeld (3x) is er maar één mogelijkheid:
(3x) (1x)
4
Vul de lege plaatsen voor de x in met een aantal factoren voor de constanten. Laten we veronderstellen dat we 8 en 1 hebben gekozen. We schrijven:
(3x 8) (x 1)
5
Bepaal welk teken (min of meer) tussen de x en de cijfers moet gaan. Gebaseerd op de tekens van de oorspronkelijke uitdrukking, is het mogelijk om te ontdekken welke tekens de constanten zouden moeten hebben. Laten we de twee constanten van onze factoren noemen k en h:
Als ax + bx + c dan (x + h) (x + k)
Als ax - bx - c of ax + bx - c dan (x - h) (x + k)
Als ax - bx + c dan (x - h) (x - k) Voor ons voorbeeld, 3x + 2x - 8, zouden de tekens moeten zijn: (x - h) (x + k), wat ons de volgende factoren geeft:
(3x + 8) en (x - 1)
6
Controleer de oefening door de vermenigvuldiging op te lossen. Een snelle test om te controleren is om te zien of de middelste term de juiste waarde heeft. Zo niet, dan hebt u mogelijk de verkeerde factoren gekozen c. Laten we de oefening bekijken:
(3x + 8) (x - 1)
Door te vermenigvuldigen, verkrijgen we dat:
3x - 3x + 8x - 8
Door deze uitdrukking te vereenvoudigen door de vergelijkbare termen (-3x) en (8x) toe te voegen, verkrijgen we:
3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Nu weten we dat we de verkeerde factoren gebruiken:
3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Door te vermenigvuldigen, verkrijgen we dat:
Door deze uitdrukking te vereenvoudigen door de vergelijkbare termen (-3x) en (8x) toe te voegen, verkrijgen we:
Nu weten we dat we de verkeerde factoren gebruiken:
7
Verander uw antwoord indien nodig. Volg ons voorbeeld en probeer 2 en 4 in plaats van 1 en 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nu onze termijn c is -8, maar het product van (3x * -4) en (2 * x) is -12X en 2x, die geeft ons het toevoegen van de juiste term b (+ 2x).
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Nu onze termijn c is -8, maar het product van (3x * -4) en (2 * x) is -12X en 2x, die geeft ons het toevoegen van de juiste term b (+ 2x).
8
Keer de volgorde om indien nodig. Laten we proberen de 2 en de 4 te verplaatsen:
(3x + 4) (x - 2)
Nu, onze termijn c (4 * 2 = 8) is nog steeds correct, maar de rest van de vermenigvuldiging resulteert in -6x en 4x. Als we ze toevoegen:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x
We waren heel dicht bij de 2x b, maar het heeft het verkeerde teken.
Nu, onze termijn c (4 * 2 = 8) is nog steeds correct, maar de rest van de vermenigvuldiging resulteert in -6x en 4x. Als we ze toevoegen:
We waren heel dicht bij de 2x b, maar het heeft het verkeerde teken.
9
Controleer de tekens indien nodig opnieuw. We gaan de nummers in dezelfde volgorde gebruiken, maar laten we het minteken wijzigen:
(3x - 4) (x + 2)
Nu, onze termijn c is nog steeds correct, maar de rest van de vermenigvuldiging geeft ons als resultaat (6x) en (-4x). sinds:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Nu vinden we de 2x van de oorspronkelijke vergelijking. Dit moeten de juiste factoren zijn.
Nu, onze termijn c is nog steeds correct, maar de rest van de vermenigvuldiging geeft ons als resultaat (6x) en (-4x). sinds:
Methode 2
ontleding
Deze methode identificeert alle mogelijke factoren van de voorwaarden a enc en gebruik ze om te ontdekken wat de juiste factoren zouden moeten zijn. Gebruik deze methode als u met zeer grote getallen werkt of als andere methoden van vermoeden te lang lijken. We gaan het volgende voorbeeld gebruiken:
1
Vermenigvuldig de term naar de termijn c. In ons voorbeeld a is 6 en c is ook 6.
6 * 6 = 36
2
Verkrijg de term b Factoring en testen. We zijn op zoek naar twee cijfers die factoren van het product zijn een * c en dat samengevat, geeft ons de term b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3
Vervang de twee getallen in de vergelijking als de som van de term b. Laten we gebruiken h en k om de twee getallen weer te geven die we hebben verkregen, 4 en 9:
bijl + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
4
Factor de veelterm door te groeperen. Organiseer de vergelijking zodat u de hoogste gemene factor (MCD) van de eerste twee en de laatste twee termen kunt gebruiken. De twee factored terms moeten hetzelfde zijn. Voeg de GCF toe en plaats deze tussen haakjes naast de factoringgroep - het resultaat is uw twee factoren:
6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Methode 3
Drievoudig spel
Net als de decompositiemethode onderzoekt de drievoudige ingangsmethode de mogelijke factoren van het product van de termen a en c om de mogelijke waarde van te achterhalen b. Beschouw de volgende vergelijking als een voorbeeld:
1
Vermenigvuldig de term naar de termijn c. Net als bij de decompositiemethode helpt dit ons de mogelijke waarden van de term te identificeren b. In dit voorbeeld a is 8 en c is 2
8 * 2 = 16
2
Zoek twee getallen waarvan het product gelijk is aan dit aantal en waarvan de som gelijk is aan de term b. Deze stap is identiek aan de decompositiemethode, we proberen en verwijderen getallen voor de constanten. Het product van de voorwaarden a en c is 16, terwijl de som gelijk is aan 10:
2 * 8 = 16 8 + 2 = 10
3
Neem de twee nummers en vervang ze in de formule van het driedubbele spel. Neem de twee nummers van de vorige stap (laten we ze noemen) h en k) en vervang ze in de uitdrukking:
((ax + h) (ax + k)) / a
Op deze manier verkrijgen we:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Op deze manier verkrijgen we:
4
Let op welk van de twee termen in de teller perfect deelbaar is tussen a. In dit voorbeeld zullen we testen of (8x + 8) of (8x + 2) deelbaar is door 8 (8x + 8) deelbaar is door 8, dus verdeel gevonden tussen a en we laten de ander intact.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
De term die we gaan gebruiken is degene die overblijft na het delen van de term a: (x + 1)
De term die we gaan gebruiken is degene die overblijft na het delen van de term a: (x + 1)
5
Zoek de grootste gemene deler (MCD) van een of beide termen. In dit voorbeeld heeft de tweede term een GCF van 2, aangezien 8x + 2 = 2 (4x + 1). Word lid van het antwoord met de term die u in de vorige stap hebt geïdentificeerd. Dit zijn de factoren van de vergelijking.
2 (x + 1) (4x + 1)
Methode 4
Verschil van twee vierkanten
Sommige coëfficiënten van polynomen worden aangeduid als "vierkanten" of als het product van twee getallen. Door vierkanten te identificeren, kunnen sommige polynomen veel sneller worden opgenomen. Laten we naar de vergelijking kijken:
1
Indien mogelijk, factor de grootste gemene deler. In dit geval nemen we waar dat zowel 27 als 12 deelbaar zijn door 3, dus we hebben het een factor:
27x - 12 = 3 (9x - 4)
2
Bepaal of de coëfficiënten van de vergelijking vierkante getallen zijn. Om deze methode te gebruiken moet je in staat om de vierkantswortel van beide voorwaarden van toepassing zijn en ontvang een integer (er rekening mee dat we nog hebben op de negatieve tekenen, want de nummers zijn in het kwadraat kan zijn resultaat van het product van twee positieve of negatieve getallen) .
9x = 3x * 3x en 4 = 2 * 2
3
Met de vierkantswortels die je net hebt geïdentificeerd, schrijf je de factoren op. We nemen de waarden van a en c uit de vorige stap- a = 9 jaar c = 4, dan passen we de vierkantswortel toe, √a = 3 en √c = 2. Dit zijn de coëfficiënten voor de gefactureerde uitdrukkingen:
27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Methode 5
Kwadratische formule
Als niets werkt en je de vergelijking niet kunt gebruiken, gebruik dan de kwadratische formule. Bekijk het volgende voorbeeld:
1
Vervangen van de overeenkomstige waarden in de kwadratische formule:
x = -b ± √ (b - 4ac) ---------------------
de 2e
We krijgen de uitdrukking:
x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
de 2e
We krijgen de uitdrukking:
2
Los op om x te vinden. Aan het eind krijg je twee waarden van x. Zoals te zien is, zijn twee antwoorden verkregen:
x = -2 + √ (3) of x = -2 - √ (3)
3
Gebruik de waarde van x om de factoren te vinden. Vervang de waarden die u hebt verkregen van x als de constanten in twee polynomiale uitdrukkingen. Dit zijn de factoren. Als we de twee waarden van x noemen als h en k, we schrijven de factoren als volgt:
(x - h) (x - k)
In dit geval is het laatste antwoord:
(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
In dit geval is het laatste antwoord:
Methode 6
Met een rekenmachine
Als u het mag gebruiken, vereenvoudigt een grafische rekenmachine het factoringproces aanzienlijk, vooral bij standaardtests. Deze instructies zijn voor een TI-grafische rekenmachine (vervaardigd door Texas Instruments). We zullen de volgende vergelijking gebruiken als een voorbeeld:
1
Voer de vergelijking in de rekenmachine in. U zult de resolutie van vergelijkingen gebruiken, ook bekend als het scherm [Y =].
2
Grafiek de vergelijking met behulp van de calculator. Zodra de vergelijking is ingevoerd, drukt u op de [GRAFIEK] -toets en een zachte boog verschijnt die de vergelijking vertegenwoordigt (het moet een boog zijn, omdat we met polynomen werken).
3
Zoek het punt waarop de boog de x-as snijdt. Omdat polynomiale vergelijkingen normaal gesproken worden geschreven in de vorm ax + bx + c = 0, zijn dit de twee waarden van x die ervoor zorgen dat de uitdrukking gelijk is aan 0:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
4
Vervang de waarden die u in de vorige stap van x hebt verkregen in twee faculteit-uitdrukkingen. Als we de twee waarden van x noemen als h en k, de uitdrukking die we zullen gebruiken zal zijn:
(x - h) (x - k) = 0
Daarom moeten de twee factoren zijn:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Daarom moeten de twee factoren zijn:
tips
- Als u een TI-84 (grafische rekenmachine) hebt, is er een programma genaamd SOLVER om kwadratische vergelijkingen op te lossen. Het dient ook voor het oplossen van polynomen in een andere mate.
- Als een term niet bestaat, is de coëfficiënt 0. Het is handig om de vergelijking te herschrijven als die situatie zich voordoet, bijvoorbeeld x + 6 = x + 0x + 6.
- Als u de veelterm hebt gecorrigeerd met behulp van de kwadratische formule en het antwoord in radicalen hebt verkregen, kunt u de waarden van x in fracties omzetten om de verificatie eenvoudiger uit te voeren.
- Als de term geen geschreven coëfficiënt heeft, is de coëfficiënt 1, bijvoorbeeld x = 1x.
- Met enige oefening kun je polynomen geestelijk factoreren. Maar tot die tijd moet je altijd het antwoord schrijven.
waarschuwingen
- Als je het concept van factoring in je wiskundeles gaat leren, let dan op wat de leraar zegt en gebruik niet alleen je favoriete methode. Je docent kan je vragen om een specifieke methode in het examen te gebruiken of het gebruik van grafische rekenmachines is niet toegestaan.
Dingen die je nodig hebt
- potlood
- papier-
- kwadratische vergelijking (of tweede graads polynoom) -
- grafische rekenmachine (optioneel).
Delen op sociale netwerken:
Verwant
Hoe polynomen te verdelen
Hoe de graad van een polynoom te vinden
Hoe de nullen van een functie te vinden
Hoe te schrijven op de standaard manier
Hoe trinomials te factoreren
Hoe om te gaan met algebraïsche vergelijkingen
Hoe een kubische polynoom factor
Hoe schuine asymptoten te vinden
Hoe polynomen te vermenigvuldigen
Hoe kwadratische vergelijkingen op te lossen
Hoe rationale vergelijkingen op te lossen- Hoe polynomen van hogere graden kunnen worden opgelost
Hoe een kubieke vergelijking op te lossen
Hoe een algebraïsche uitdrukking op te lossen
Hoe een herhalingsrelatie op te lossen- Hoe rationele uitdrukkingen te vereenvoudigen
Hoe een wiskundige reden te vereenvoudigen
Hoe algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen
Hoe wiskundige uitdrukkingen te vereenvoudigen
Hoe te converteren naar gelijkwaardige breuken
Hoe de wortels van een tweedegraadsvergelijking te vinden
Hoe de graad van een polynoom te vinden
Hoe de nullen van een functie te vinden
Hoe te schrijven op de standaard manier
Hoe trinomials te factoreren
Hoe om te gaan met algebraïsche vergelijkingen
Hoe een kubische polynoom factor
Hoe schuine asymptoten te vinden
Hoe kwadratische vergelijkingen op te lossen
Hoe rationale vergelijkingen op te lossen