Hoe trinomials te factoreren

Een trinominaal is een algebraïsche uitdrukking die uit drie termen bestaat. Hoogstwaarschijnlijk leer je trinomialen als eerste te factoreren "vierkant"- dat wil zeggen, de geschreven trinomialen van de vorm ax + bx + c. Er zijn verschillende trucs die je kunt leren die van toepassing zijn op verschillende soorten kwadratische trinomieën, die je beter en sneller zult leren gebruiken met een beetje oefening. Polynomen van hogere orde, met termen als x of x, kunnen niet altijd met dezelfde methoden worden opgelost, maar u kunt meestal een eenvoudige factor of de substitutiemethode gebruiken om ze om te zetten in problemen die kunnen worden opgelost zoals elke kwadratische formule.

Inhoud

Stappen

Methode 1trinomiale factoren in de vorm x + bx + c
Methode 2factor meer gecompliceerde trinomials
Methode 3factor speciale gevallen

Problemen en oplossingen
Tips
Waarschuwingen

stappen

Methode 1
Trinomiale factoren in de vorm x + bx + c

Factor-trinomials-Step-1-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 1

Leer de FOIL-vermenigvuldigingsmethode. Misschien ken je de FOIL-methode al, wat betekent "eerste, exterieur, interieur en laatste", en het wordt gebruikt om uitdrukkingen zoals (x + 2) (x + 4) te vermenigvuldigen. Het is erg handig om te weten hoe deze methode werkt voordat u factoring gebruikt. Dit gebeurt als volgt:

Vermenigvuldig de eerste voorwaarden: (X+2) (X+4) = X + __
Vermenigvuldig de voorwaarden extern: (X+2) (x +4) = x +4x + __
Vermenigvuldig de voorwaarden binnenland: (x +2) (X+4) = x + 4x +2x + __
Vermenigvuldig de laatst voorwaarden: (x +2) (x +4) = x + 4x + 2x +8
Vereenvoudig: x +4x + 2x+8 = x +6x+8

Factor-trinomials-Step-2-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 2

Begrijp het ontbindingsproces. Wanneer u twee binomials vermenigvuldigt met de FOIL-methode, is het resultaat een trinominaal (een uitdrukking met drie termen) van het formulier bijl +bx +c, waarbij a, b en c normale getallen zijn. Als u een vergelijking krijgt met diezelfde vorm, kunt u deze in twee binomials opsommen.

Als de vergelijking niet zo is geschreven, moet u de voorwaarden opnieuw indelen. Herschrijf bijvoorbeeld3x - 10 + x als x + 3x - 10.

Omdat de grootste exponent 2 (x) is, wordt dit type uitdrukking aangeroepen "vierkant".

Factor-trinomials-Step-3-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 3

Laat ruimte vrij voor het antwoord. Voorlopig moet je gewoon schrijven (__ __) (__ __), in de ruimte waar je van plan bent om je antwoord te schrijven. U vult de velden in naarmate u vordert.

Schrijf geen + of - in het midden van de lege termen, omdat we het bord niet kennen.

Factor-trinomials-Step-4-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 4

Voltooi de eerste voorwaarden. Voor eenvoudige problemen, waarbij de eerste term van de trinomiale x is, zijn de termen in de eerste regels altijd X en X. Dat zijn de factoren van de term x, omdat x door x = x.

Ons voorbeeld x + 3x - 10 begint met x, dus we kunnen het volgende schrijven:

(x __) (x __)

We zullen ingewikkelder problemen behandelen in de volgende sectie, inclusief trinominaties die beginnen met een term zoals 6x of -x. Volg voorlopig het voorbeeld.

Factor-trinomials-Step-5-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 5

Gebruik factoring om de laatste voorwaarden te vinden. Als je teruggaat en de FOL-methode bekijkt, zul je merken dat door de laatste termen te vermenigvuldigen, je de laatste term van de polynoom krijgt (degene die geen x heeft). Daarom, om te factor, zul je twee nummers moeten vinden vermenigvuldigd in de laatste termijn.

In ons voorbeeld, x + 3x - 10, is de laatste term -10.

Wat zijn de factoren -10? Welke vermenigvuldigde nummers geven -10?

Er zijn verschillende mogelijkheden: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 en ten slotte 2 x -5. Schrijf deze sets met cijfers zodat je ze niet vergeet.

Schrijf het antwoord nog niet. Het zou er nog steeds als volgt uit moeten zien: (x __) (x __).

Factor-trinomials-Step-6-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 6

Definieer het juiste antwoord door het binnengetal te vermenigvuldigen met de buitenkant. We hebben de zoektocht naar de laatste termen beperkt tot slechts een paar mogelijkheden. Gebruik vallen en opstaan om elke mogelijkheid te testen, vermenigvuldig de uiterlijke term met het interieur en vergelijk het resultaat met de trinominale. Bijvoorbeeld:

Het oorspronkelijke probleem heeft een term "X" 3x, dus we moeten die term krijgen met vermenigvuldiging.

Laten we het proberen met -1 en 10: (x-1) (x + 10). De buitenkant + het interieur = 10x - x = 9x. Het is niet het antwoord.

Laten we het proberen met 1 en -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Het antwoord is ook niet. Omdat we met -1 en 10 hebben getest, weten we dat als we 1 en -10 gebruiken, we hetzelfde antwoord krijgen met het tegenovergestelde teken: -9x in plaats van 9x.

Laten we het proberen met -2 en 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Dit antwoord komt overeen met het oorspronkelijke polynoom, dus het is het juiste antwoord: (x-2) (x + 5).

In eenvoudige gevallen zoals de vorige, wanneer er geen constante naast de term x is, kunt u een snelkoppeling gebruiken: voeg eenvoudig de twee factoren toe en voeg een "X" (-2 + 5 → 3x). Maar deze truc werkt niet voor ingewikkeldere problemen, dus het is goed om te onthouden "lange vorm" hierboven beschreven.

Methode 2
Factor meer gecompliceerde trinomials

Factor-trinomials-Step-7-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 7

Gebruik eenvoudige factoring om de meest gecompliceerde problemen te vergemakkelijken. Stel dat we gaan factor 3x + 9x - 30. Zoek de factor van de drie termen (de "maximale gemeenschappelijke factor" of MFC). In dit geval is het 3:

3x = (3) (x)
9x = (3) (3x)
-30 = (3) (- 10)
Daarom 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x-10). We kunnen de nieuwe trinominiaal factoreren met behulp van de stappen die in de vorige sectie zijn beschreven. Het laatste antwoord zal zijn (3) (x-2) (x + 5).

Factor-trinomials-Step-8-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 8

Vind meer gecompliceerde factoren. Soms kan de factor gepaard gaan met een variabele of moet u mogelijk meerdere keren factor gebruiken om de eenvoudigste uitdrukking te vinden die mogelijk is. Hier zijn enkele voorbeelden:

2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)

x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)

-x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)

Vergeet niet elke nieuwe trinominaal die u verkrijgt te bepalen met behulp van de stappen die zijn beschreven in methode 1. Controleer uw resultaten en zoek naar vergelijkbare voorbeelden in het gedeelte Problemen onder aan deze pagina.

Factor-trinomials-Step-9-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 9

Los de trinominaties op die een nummer hebben dat overeenkomt met de term x. Sommige kwadratische trinomialen kunnen niet worden vereenvoudigd om ze op een eenvoudige manier op te lossen. Leer om problemen op te lossen vergelijkbaar met 3x + 10x + 8 en oefen dan alleen met de problemen onderaan deze pagina:

Laten we ruimte openlaten voor het antwoord: (__ __) (__ __)

de "eerste" termen moeten een x hebben en we moeten ze vermenigvuldigen om 3x te krijgen. Er is maar één oplossing: (3x __) (x __).

Schrijf de factoren van 8. Onze opties zijn 1 x 8 of 2 x 4.

Probeer de uiterlijke term te vermenigvuldigen met de innerlijke term. Houd rekening met de volgorde van de factoren, want je moet de uiterlijke term met 3x vermenigvuldigen in plaats van met x. Probeer alle opties totdat je 10x resultaat krijgt (de oorspronkelijke probleemstelling):

(3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x geen

(3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x geen

(3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x geen

(3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja. Dit is de juiste factor.

Factor-trinomials-Step-10-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 10

Gebruik de substitutiemethode voor trinomialen van het hoogste niveau. Ze kunnen je een vergelijking geven met een exponent groter dan twee (zoals x), zelfs na factoring om het probleem te vereenvoudigen. Vervang door een variabele die het probleem omzet in een variabele die u weet op te lossen. Bijvoorbeeld:

x + 13x + 36x

= (x) (x + 13x + 36)

Laten we een nieuwe variabele maken. Laat y = x en vervang:

(x) (y + 13y + 36)

= (x) (y + 9) (y + 4). Laten we nu de oorspronkelijke variabele vervangen:

= (x) (x + 9) (x + 4)

=(x) (x ± 3) (x ± 2)

Methode 3
Factor speciale gevallen

Factor-trinomials-Step-11-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 11

Kijk naar priemgetallen. Controleer of de constante in de eerste of derde term van de trinominale een priemgetal is. Een priemgetal kan worden opgesplitst om alleen en alleen een exact getal te verkrijgen, dus er is slechts één mogelijk paar factoren om in de binomiaal in te voeren.

Bijvoorbeeld in x + 6x + 5, 5 is een priemgetal, dus de binomiaal moet de vorm hebben (__ 5) (__ 1).
In het probleem 3x + 10x + 8, 3 is een priemgetal, dus de binomiaal moet de vorm hebben (3x __) (x __).
Voor het probleem 3x + 4x + 1, de 3 en de 1 zijn priemgetallen, dus de enige mogelijke oplossing is (3x + 1) (x + 1). (In elk geval moet u de vermenigvuldiging oplossen om te controleren, aangezien sommige uitdrukkingen niet kunnen worden verwerkt, bijvoorbeeld de vergelijking 3x + 100x + 1, heeft geen factoren).

Factor-trinomials-Step-12-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 12

Controleer of de trinominale een perfect vierkant is. Een perfecte vierkante trinominale kan worden verwerkt in twee identieke binomialen en de resulterende factor wordt meestal geschreven als (x + 1) in plaats van (x + 1) (x + 1). Hier zijn enkele voorbeelden die vaak worden gezien in de problemen van de algebra:

x + 2x + 1 = (x + 1) en x-2x + 1 = (x-1)

x + 4x + 4 = (x + 2) en x-4x + 4 = (x-2)

x + 6x + 9 = (x + 3) en x-6x + 9 = (x-3)

Een perfecte vierkante trinominale vorm bijl + bx + c heeft altijd voorwaarden van a en c die perfecte positieve vierkanten zijn (zoals 1, 4, 9, 15 of 25) en de term b (positief of negatief) is gelijk aan 2 (√a * √c).

Factor-trinomials-Step-13-versie-2.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Trinomials Factor Step 13

Controleer of het probleem een oplossing heeft. Niet alle trinomialen kunnen worden verwerkt. Als je een kwadratische trinominaal (ax + bx + c) niet kunt oplossen, gebruik dan de kwadratische formule om het antwoord te vinden. Als de enige oplossingen de vierkantswortel van een negatief getal zijn (dat wil zeggen, er is geen echte oplossing), dan kan de trinominale niet worden verwerkt.

Gebruik voor niet-kwadratische trinomialen het Eisenstein-criterium, beschreven in de tips-sectie.

Problemen en oplossingen

Antwoorden op factoringproblemen "gecompliceerd". Dit zijn de problemen van stap over "meer gecompliceerde factoren". Ze zijn al vereenvoudigd tot eenvoudige trinomials, dus probeer ze op te lossen met behulp van de stappen die zijn beschreven in methode 1, controleer dan je antwoorden hier:
(2y) (x + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
(x) (x + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
(-1) (x - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (X-3)
Probeer meer gecompliceerde factoringproblemen. Deze problemen hebben een gemeenschappelijke factor in elke term die eerst moet worden verwerkt. Schaduw de spatie na het gelijkteken om het antwoord te zien en controleer je werk:
3x + 3x-6x = (3x) (x + 2) (x-1) ← schaduw deze ruimte om het antwoord te zien.
-5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)
Oefenen met moeilijke problemen. De volgende problemen kunnen niet worden verwerkt in eenvoudige oplossingen, dus u moet het antwoord van het formulier (_x + __) (_ x + __) met vallen en opstaan vinden:
2x + 3x-5 = (2x + 5) (x-1) ← schaduw om het antwoord te zien.
9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (Tip: misschien moet je meer dan een paar factoren proberen voor de 9x-term).

tips

Als u een kwadratische trinominaal (ax + bx + c) niet kunt gebruiken, kunt u de kwadratische formule gebruiken om de waarde van x te vinden.
Hoewel het niet nodig is om te weten, kunt u de criteria van Eisenstein gebruiken om snel te bepalen of de polynoom onherleidbaar is, in welk geval deze niet kan worden verwerkt. Dit criterium werkt voor elk type polynoom, maar werkt het best in de trinominalen. Als er een priemgetal (p) is dat de laatste twee termen exact verdeelt en aan de volgende voorwaarden voldoet, dan is het polynoom onherleidbaar:

De constante term (de variabele zonder variabele) is een veelvoud van p, maar niet p.
De eerste term (bijvoorbeeld a in ax + bx + c) is geen veelvoud van p.
Bijvoorbeeld, 14x + 45x + 51, is onherleidbaar omdat er een priemgetal (3) is dat exact op 45 en 51 valt, maar niet op 14- en 51 niet precies tussen 3 kan worden verdeeld.

waarschuwingen

Hoewel het waar is voor kwadratische trinomialen, zijn legendarische trinomialen niet noodzakelijk het product van twee binomials. Bijvoorbeeld x + 105x + 46 = (x + 5x + 2) (x - 5x + 23).

Delen op sociale netwerken:

Verwant