Hoe vergelijkbare termen te combineren

Een radicale uitdrukking is een algebraïsche uitdrukking die een vierkantswortel (of kubieke of hogere orde) omvat. Veel uitdrukkingen kunnen vaak hetzelfde aantal beschrijven, hoewel ze er heel anders uitzien (bijvoorbeeld 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1). De oplossing hiervoor is om een te definiëren "canonieke vorm" voorkeur voor bepaalde uitdrukkingen. Als twee uitdrukkingen, beide in canonieke vorm, er steeds anders uit blijven zien, betekent dit dat ze in feite geen equivalente uitdrukkingen zijn. Wiskundigen zijn overeengekomen dat radicale uitdrukkingen in canonieke vorm:

Inhoud

Stappen

Methode 1perfecte krachten
Methode 2rationele exponenten omzetten in radicalen
Methode 3elimineert fracties van radicalen
Methode 4combineer radicale producten
Methode 5pak de vierkante factoren van de radicalen uit
Methode 6rationaliseer de noemer

Tips

Vermijd fracties in radicalen
Gebruik geen fractionele exponenten
Vermijd radicalen in de noemers
Vermenigvuldig radicalen niet met radicalen
Alleen radicaalvrije termen onder de radicalen hebben

Een praktisch gebruik hiervoor is in de meerkeuzenexamens. Als je bij een examen een probleem hebt opgelost, maar het antwoord komt niet overeen met een van de opties, probeer het dan te vereenvoudigen tot het canonieke formulier. Omdat de auteurs van de examens de antwoorden meestal in een canonieke vorm schrijven, als u hetzelfde doet tijdens uw examen, zal het gemakkelijker zijn om te realiseren welke van de antwoorden hetzelfde is als de uwe. Bij examens van gratis antwoorden, instructies "vereenvoudig de antwoorden" of "vereenvoudigt alle radicalen" het betekent dat studenten deze stappen moeten toepassen totdat de antwoorden voldoen aan de hierboven genoemde vereisten. Het heeft ook verschillende toepassingen bij het oplossen van vergelijkingen, hoewel sommige vergelijkingen gemakkelijker op te lossen zijn in een niet-canonieke vorm.

stappen

Bekijk indien nodig de regels voor radicale manipulatie en exponenten (Ze zijn precies hetzelfde: de wortels zijn fractionele krachten) omdat de meeste van hen nodig zijn voor dit proces. Bekijk ook de regels om te manipuleren en vereenvoudig polynomiale en rationele uitdrukkingen omdat ze ook nodig zullen zijn om vereenvoudigingen in het proces aan te brengen.

Methode 1
Perfecte krachten

Titel afbeelding Simplify Radical Expressions Step 1

Vereenvoudig alle radicale uitdrukkingen die perfecte vierkanten zijn. Een perfect vierkant is het product van elk getal vermenigvuldigd met zichzelf, bijvoorbeeld 81, wat het product is van 9 x 9. Om een perfect vierkant dat onder een radicaal ligt te vereenvoudigen, elimineer eenvoudig het radicale teken en schrijf het getal dat wees de vierkantswortel van het perfecte vierkant.

121 is bijvoorbeeld een perfect vierkant omdat 11 x 11 121 is. Daarom kunt u √ (121) vereenvoudigen door 11 door het symbool van de vierkantswortel te verwijderen.
Om het proces gemakkelijker te maken, zou het goed zijn om de eerste twaalf perfecte vierkanten te onthouden: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

Titel afbeelding Simplify Radical Expressions Step 2

Vereenvoudig alle radicale uitdrukkingen die een perfecte kubus zijn. Een perfecte kubus is het product van elk willekeurig vermenigvuldigd getal, bijvoorbeeld 27 is het product van 3 x 3 x 3. Om een radicale uitdrukking te vereenvoudigen wanneer er een perfecte kubus onder een kubiek radicaal teken is, verwijdert u eenvoudig de Radicaal teken en schrijf het getal dat zich onder de kubuswortel van de perfecte kubus bevindt.

343 is bijvoorbeeld een perfecte kubus omdat het het product is van 7 x 7 x 7. De kubuswortel van de perfecte kubus van 343 is dus gewoon 7.

Methode 2
Rationele exponenten omzetten in radicalen

U kunt ook de omgekeerde conversie uitvoeren, als u dat wilt (vaak zijn er goede redenen om dit te doen), maar meng geen termen in dezelfde uitdrukking, zoals in dit geval: √ (5) + 5. In dit artikel wordt aangenomen dat u zult gebruiken Radicale notatie en u gebruikt het symbool (√n) om de vierkantswortel van ny (√n) voor de kubuswortel van n aan te geven.

Zoek alle fractionele exponenten en converteer ze naar hun radicale equivalent, dat wil zeggen, x = b-de wortel van x.

Als je een breuk hebt als een index van een radicaal, verwijder die dan ook. Bijvoorbeeld, de root (2/3) van 4 = √ (4) = 2 = 8.

Converteert de negatieve exponenten naar hun equivalente breuk, dat is x = 1 / x.

Dit geldt alleen voor constante en rationele exponenten. Als je termen als 2 hebt, laat ze zoals ze zijn, zelfs als de context van het probleem inhoudt dat x een fractioneel of een negatief getal kan zijn.

Combineer alle vergelijkbare termen en vereenvoudigt de rationele expressies die optreden als gevolg van deze combinatie.

Methode 3
Elimineert fracties van radicalen

De canonieke vorm vereist dat de wortel van een breuk wordt uitgedrukt in wortels van hele getallen.

Bestudeer de termen onder elke radicaal om te zien of er fracties in voorkomen. Als dat zo is, gaat u verder met de volgende stap.

Vervang ze door een fractie van twee radicalen met behulp van de identiteit √ (a / b) = √ (a) / √ (b).

Gebruik deze identiteit niet als de noemer negatief is of als het een variabele uitdrukking is die negatieve waarden zou kunnen aannemen. In dit geval, vereenvoudig eerst de breuk.

Vereenvoudig de perfecte vierkanten die je daardoor krijgt. Dat wil zeggen, √ (5/4) omzetten in √ (5) / √ (4),

Maak een andere nuttige vereenvoudiging, zoals vereenvoudig complexe breuken, combineer vergelijkbare termen, etc.

Methode 4
Combineer radicale producten

Als je een radicale uitdrukking hebt vermenigvuldigd met een andere, combineer ze tot een enkele radicaal gebruik van de woning: √ (a) * √ (b) = √ (ab). Vervang bijvoorbeeld √ (2) * √ (6) met √ (12).

De vorige identiteit, √ (a) * √ (b) = √ (ab) is geldig voor niet-negatieve radikalen. Pas het niet toe als a en b negatief zijn, omdat u er ten onrechte voor zorgt dat √ (-1) * √ (-1) = √ (1). De linkerkant is per definitie -1 (of ongedefinieerd als u weigert complexe getallen te gebruiken), terwijl de rechterkant +1 is. Als a of b negatief zijn, eerst "fixes" het teken verandert √ (-5) door i * √ (5). Als de radicand een variabele uitdrukking is waarvan het teken niet kan worden afgeleid door de context en zowel positief als negatief kan zijn, laat deze dan gewoon gewoon zoals ze is. U kunt een meer algemene identiteit gebruiken, zoals √ (a) * √ (b) = √ (sgn (a)) * √ (sgn (b)) * √ (| ab |) die geldig is voor alle reële getallen a en b, maar het is meestal niet de moeite waard om meer complexiteit toe te voegen bij het invoeren van de tekenfunctie (sgn).
Deze identiteit is alleen van toepassing als de radicalen dezelfde index hebben. Je kunt meer algemene radicalen zoals √ (5) * √ (7) vermenigvuldigen door ze eerst via een gemeenschappelijke index uit te drukken. Om dit te doen, converteer je de wortels tijdelijk naar fractionele exponenten: √ (5) * √ (7) = 5 * 7 = 5 * 7 = 125 * 49. Pas vervolgens de productregel toe om met dit product overeen te stemmen met de zesde wortel van 6125.

Methode 5
Pak de vierkante factoren van de radicalen uit

Titel afbeelding Simplify Radical Expressions Step 3

gefactoriseerde een imperfecte radicale uitdrukking in zijn belangrijkste factoren. De factoren zijn de getallen die zich vermenigvuldigen om een getal te creëren: bijvoorbeeld 5 en 4 zijn twee factoren van het getal 20. Om een imperfecte radicale uitdrukking op te splitsen, noteert u alle factoren van dat getal (of alle factoren die bij u opkomen, als het is een groot aantal) totdat je er een vindt die perfect vierkant is.

Probeer bijvoorbeeld alle factoren van het getal 45: 1, 3, 5, 9, 15 en 45 op te sommen. 9 is een factor 45 die ook een perfect vierkant is (9 = 3). 9 x 5 = 45.

Titel afbeelding Simplify Radical Expressions Step 4

Verplaats de veelvouden die een perfect vierkant zijn uit het teken van de radicaal. 9 is een perfect vierkant omdat het het product is van 3 x 3. Verplaats de 9 uit het teken van de radicaal en plaats het voor de rest, laat de 5 onder het teken van de radicaal achter. als "strips" de drie opnieuw onder het teken van de radicaal, vermenigvuldigen zich vanzelf door opnieuw een 9 te maken, die opnieuw vermenigvuldigd zou worden met 5 om opnieuw de 45 te creëren. 3 maal de wortel van 5 is eenvoudig een vereenvoudigde versie van zeg root van 45.

Daarom: √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5).

Titel afbeelding Simplify Radical Expressions Step 5

Zoek een perfect vierkant in de variabele. De vierkantswortel van naar naar de tweede macht zou zijn | a |. Je kunt volgen vereenvoudigen en gewoon verlaten naar, alleen als je weet dat de variabele positief is. De vierkantswortel van naar naar de derde macht kan worden opgesplitst in de vierkantswortel van naar squared by naar (Dit komt omdat wanneer vermenigvuldigende variabelen de exponenten optellen, dus naar door naar kwadraat gelijken naar naar de emmer).

Daarom is het perfecte vierkant in de uitdrukking naar de kubus is naar Hij kwadraat.

Titel afbeelding Simplify Radical Expressions Step 6

Verplaats alle variabelen die perfecte vierkanten zijn uit het teken van de radicaal. Nu nemen naar in het vierkant en verplaats het uit het teken van de radicaal om het in een te transformeren | a | Regelmatige. De vereenvoudigde vorm van naar de kubus is eenvoudig | a | root van naar.

Het combineert alle vergelijkbare termen en vereenvoudigt de radicale uitdrukkingen verkregen als gevolg van deze procedure.

Methode 6
Rationaliseer de noemer

De canonieke vorm vereist dat de noemer een geheel getal zijn (of een polynoom als het onbepaalde variabelen bevat) indien mogelijk.

Als de noemer bestaat uit een enkele term onder een radicaal teken, bijvoorbeeld [iets] / √ (5), vermenigvuldig dan de teller en de noemer door die radicaal om [iets] * √ (5) / √ (5) te krijgen * √ (5) = [iets] * √ (5) / 5.

Voor de hoogste kubus en wortels vermenigvuldig je deze met het vermogen dat overeenkomt met de radicaal om de noemer een rationeel getal te maken. Als de noemer √ (5) was, vermenigvuldig dan de teller en de noemer met √ (5).

Als de noemer bestaat uit een som of aftrekking van vierkantswortels, zoals √ (2) + √ (6), vermenigvuldig dan de teller en de noemer door zijn geconjugeerde: dezelfde uitdrukking maar met de tegenovergestelde operator. Daarom: [iets] / (√ (2) + √ (6)) = [iets] (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6)) (√ (2 ) -√ (6)). Gebruik vervolgens de identiteit van het kwadratische verschil [(a + b) (ab) = ab] om de noemer te rationaliseren, vereenvoudiging (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) - √ (6) = 2-6 = -4.

Dit werkt ook voor noemers als 5 + √ (3) omdat elk geheel getal een vierkantswortel is van een ander geheel getal. [1 / (5 + √ (3)) = (5-√ (3)) / (5 + √ (3)) (5-√ (3)) = (5-√ (3)) / (5- √ (3)) = (5-√ (3)) / (25-3) = (5-√ (3)) / 22]

Het werkt ook voor een som van vierkantswortels, zoals √ (5) -√ (6) + √ (7). Als je groep als (√ (5) -√ (6)) + √ (7) en vermenigvuldigen met (√ (5) -√ (6)) - √ (7), uw reactie zal geen rationeel getal zijn, maar zal de vorm a + b * √ (30), waar naar en b Ze zijn rationeel. U kunt herhaalt het proces met het conjugaat van a + b * √ (30) en (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) rationeel. In essentie, als je deze trick één keer kunt gebruiken om de hoeveelheid radicale tekens in de noemer te verminderen, kun je deze truc verschillende keren gebruiken om ze allemaal te elimineren.

Deze methode werkt ook voor noemers met wortels van hogere bijvoorbeeld vierdemachtswortel van 3 wortel zevende 9. vermenigvuldigen eenvoudig teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer. Helaas is het niet meteen duidelijk wat de conjugaat van de noemer is of hoe dit te achterhalen is. Dit valt buiten het bestek van dit artikel, maar je kunt een methode vinden in een goed boek van algebraïsche numerieke theorie.

Nu wordt de noemer gerationaliseerd, maar de teller wordt een puinhoop. Nu heb je je initiële teller vermenigvuldigd met zijn geconjugeerde. dan breid het product uit zoals je zou doen met een product van polynomen. Controleer of u voorwaarden kunt annuleren of vereenvoudigen of gelijkaardige voorwaarden kunt combineren wanneer mogelijk.

Als de noemer een negatief geheel getal is, vermenigvuldigt u de teller en de noemer met -1 om deze positief te maken.

tips

Er zijn online websites die een radicale expressie automatisch kunnen vereenvoudigen. Schrijf gewoon de vergelijking onder het radicale teken en nadat je op Enter hebt gedrukt, verschijnt het vereenvoudigde antwoord.
Voor eenvoudige problemen is het niet mogelijk om veel van deze stappen toe te passen. Voor gecompliceerde problemen moeten sommige ervan meerdere keren worden toegepast. Maak vereenvoudigingen "eenvoudig" onophoudelijk terwijl u het probleem oplost en uw laatste antwoord tegen de canonieke vorm van de aanvankelijke slogan controleert. Als uw antwoord canoniek is, betekent dit dat u klaar bent. Als het niet canoniek is, kun je een van deze stappen volgen om te zien wat je moet doen om het canoniek te maken.
De meeste verwijzingen naar de "canonieke vorm geprefereerd" voor radicale uitdrukkingen zijn ze ook van toepassing op complexe getallen (i = √ (-1)). Het is altijd beter om te voorkomen dat je een a schrijft "ik" in de noemer, zelfs als het is geschreven als "ik" en niet met het radicale teken.
Sommige delen van deze instructies gebruiken de term verkeerd "canonieke vorm" wanneer ze in werkelijkheid alleen het "normale manier". Het verschil is dat de canonieke vorm het gebruik van 1 + √ (2) of √ (2) +1 vereist, terwijl de andere als onjuist moet worden bestempeld. Door de normale vorm te zeggen, wordt aangenomen dat de lezer helder genoeg is om te herkennen dat beide zijn "uiteraard equivalent" want hoewel de cijfers niet typografisch identiek zijn (waar bij zeggen "duidelijk" middelen die alleen aritmetiek, [bijvoorbeeld de Commutativiteit van de som] en geen algebraïsche eigenschappen [√ (2) is een niet-negatief wortel van x-2]). De lezer zal weten hoe hij dit lichte misbruik van terminologie kan excuseren.
In bepaalde delen van deze instructies wordt aangenomen dat alle radicalen vierkante wortels zijn. De algemene beginselen zijn ook van toepassing op kubussen en bevoegdheden op een hoger niveau, hoewel sommige van deze principes (met name de rationalisatie van de noemer) wellicht moeilijker toe te passen zijn. U zult ook moeten beslissen of u de voorkeur geeft aan termen zoals √ (4) of √ (2) (dit kan verschillen afhankelijk van de auteur van het leerboek).
Als deze aanwijzingen lijken dubbelzinnig of tegenstrijdig, dan gelden alle stappen consistente en ondubbelzinnige en selecteer vervolgens de vorm die meest radicale uitingen van het handboek u eruit te gebruiken.

Delen op sociale netwerken:

Verwant