Hoe een kubieke vergelijking op te lossen

Factor één x van de vergelijking. Omdat de vergelijking geen constante heeft, heeft elke term in de vergelijking een variabele x. Dit betekent dat een x kan worden meegerekend om de vergelijking te vereenvoudigen. Doe dit en herschrijf de vergelijking in de vorm van x (bijl + bx + c).

Gebruik de kwadratische formule om het onderdeel tussen haakjes op te lossen. U hebt misschien gemerkt dat het deel van de nieuwe vergelijking tussen haakjes overeenkomt met de vorm van een kwadratische vergelijking (bijl + bx + c). Dit betekent dat we de waarden kunnen vinden waarvoor deze kwadratische vergelijking gelijk is aan nul-substitutie a, b en c in de kwadratische formule ({-b +/- √ (b- 4ac)} / 2a). Doe dit om twee van de antwoorden op de kubieke vergelijking te vinden.

Gebruik nul en de antwoorden op de kwadratische vergelijking als uw antwoorden op de kubieke vergelijking. Hoewel de kwadratische vergelijkingen twee oplossingen hebben, hebben de kubieke vergelijkingen er drie. Je hebt er al twee - het zijn de antwoorden die je hebt gevonden op het `kwadratische` deel van het probleem tussen haakjes. In gevallen waarin de vergelijking in aanmerking komt voor deze resolutiemethode door factoring, zal uw derde antwoord altijd zijn 0. Gefeliciteerd - je hebt zojuist de kubieke vergelijking opgelost.

Zoek de factoren van a en d. Om de kubieke vergelijking op te lossen, begint u met het vinden van de factoren van a (de coëfficiënt van de term x) en d (de constante aan het einde van de vergelijking). Ter herinnering: de factoren zijn de getallen die kunnen worden vermenigvuldigd om een ​​ander nummer te maken. Omdat u bijvoorbeeld 6 kunt maken door 6 x 1 en 2 x 3 te vermenigvuldigen, betekent dit dat 1, 2, 3 en 6 de factoren van 6 zijn.

Verdeel de factoren van een van de factoren van d. Maak vervolgens een lijst met de waarden die u krijgt door elke factor te delen tot tussen elke factor van d. Dit resulteert meestal in veel breuken en een paar hele getallen. Hele oplossingen voor de kubieke vergelijking zullen een van de gehele getallen in deze lijst zijn of het negatief van een van deze getallen.

Gebruik de synthetische divisie of bekijk uw antwoorden handmatig. Zodra u uw lijst met waarden, kunt u de hele antwoorden op de derdegraadsvergelijking snel ter vervanging van elk integer handmatig en bevinding dat een resultaat gelijk aan nul te vinden. Als u echter geen tijd wilt besteden aan dit doen, is er een iets snellere methode een techniek genaamd synthetische deling. In principe verdeelt u de gehele waarden tussen de oorspronkelijke coëfficiënten van a, b, c en d in de kubieke vergelijking. Als u een rest van 0 krijgt, is de waarde een van de antwoorden van de kubieke vergelijking.

Bereken Δ0 = b - 3ac. De focus van de discriminant aan de oplossing van een derdegraadsvergelijking vinden vereist een aantal ingewikkelde wiskundige, maar als je het proces nauwgezet te volgen, u vindt het een waardevol instrument voor het oplossen van de kubieke vergelijkingen die te moeilijk zijn om iets anders te lossen tool. Om te beginnen, vind Δ0, de eerste van een aantal belangrijke hoeveelheden die we nodig zullen hebben, vervangende de juiste waarden in de formule b - 3ac.

Bereken Δ1 = 2b - 9abc + 27naard. De volgende belangrijke hoeveelheid die we nodig zullen hebben, Δ1, vereist iets meer werk, maar is in wezen hetzelfde als Δ0. Vervang de juiste waarden in formule 2b - 9abc + 27naard om de waarde van Δ1 te verkrijgen.

Bereken Δ = (Δ1 - 4Δ0) / -27a. Vervolgens zullen we de "discriminant" van het kubische polynoom berekenen uit de waarden van Δ0 en Δ1. Een discriminant is gewoon een nummer dat ons informatie geeft over de wortels van een polynoom (u wellicht al weet onbewust de discriminant van de kwadratische polynoom: b - 4ac). In het geval van de kubieke vergelijking, als de discriminant positief is, heeft de vergelijking drie echte oplossingen. Als de discriminant nul is, heeft de vergelijking één of twee echte oplossingen en worden sommige van die oplossingen gedeeld. Als de discriminant negatief is, heeft de vergelijking maar één oplossing. (Een kubieke vergelijking heeft altijd ten minste één echte oplossing omdat de grafiek van de vergelijking altijd de as zal passeren x minstens één keer).

berekenen C = √ (√ ((Δ1 - 4Δ0) + Δ1) / 2). De laatste belangrijke waarde die we moeten berekenen is C. Deze belangrijke hoeveelheid stelt ons in staat om eindelijk de drie wortels te vinden. Los het op als altijd en vervang Δ1 en Δ0 als dat nodig is.