Hoe trigonometrische vergelijkingen op te lossen

Een trigonometrische vergelijking is een vergelijking die één of meerdere trigonometrische functies van de trigoniometrische variabele van de boog x bevat. Wissen "x" betekent het vinden van de waarden van de trigonometrische bogen, waarvan de trigonometrische functies de trigonometrische vergelijking juist maken.

De antwoorden of waarden van de oplossingsbogen worden uitgedrukt in graden of radialen. Voorbeelden:

x = Pi / 3- x = 5Pi / 6- x = 3Pi / 2- x = 45⁰- x = 37.12⁰- x = 178.37⁰

Opmerking: in de goniometrische omtrek of de omtrek van eenheden hebben de trigonometrische functies van elke boog dezelfde trigonometrische functies van de overeenkomstige hoek. De omtrek van de eenheid definieert alle trigonometrische functies van de variabele boog x. Het wordt ook gebruikt als een demonstratie bij het oplossen van elementaire trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden.
Voorbeelden van trigonometrische vergelijkingen:
sin x + sin 2x = 1 / 2- tg x + cotg x = 1.732;
cos 3x + sin 2x = cos x- 2sen 2x + cos x = 1.

De omtrek van de eenheid.
Het is een cirkel met een straal = 1 eenheid en O als oorsprong. De omtrek van de eenheid definieert 4 belangrijke trigonometrische functies van de variabele boog x die er linksom roteert.
Wanneer de boog met waarde x varieert in de omtrek van de eenheid:
De horizontale as OAx definieert de trigonometrische functie f (x) = cos x.
De verticale as OBy definieert de trigonometrische functie f (x) = sin x.
De verticale as AT definieert de trigonometrische functie f (x) = tg x.
De BU in de horizontale as definieert de trigonometrische functie f (x) = cotg x.

De omtrek van de eenheid wordt ook gebruikt om elementaire trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen, rekening houdend met de verschillende posities van de boog x in deze omtrek.

stappen

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 1

Ken het concept van resolutie.

Om een trigonometrische vergelijking op te lossen, transformeert u deze in een of meer elementaire trigonometrische vergelijkingen. Ten slotte resulteert de resolutie van trigonometrische vergelijkingen in de resolutie van 4 soorten standaard trigonometrische vergelijkingen.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 2

Leer hoe u eenvoudige trigonometrische vergelijkingen kunt oplossen.

Er zijn 4 soorten standaard trigonometrische vergelijkingen:

sin x = a - cos x = a

tg x = a - cotg x = a

Resolutie van de procedures van de basisgoniometrische vergelijkingen door verschillende posities van de boog x in de omtrek van de eenheid te bestuderen en door de goniometrische conversietabel of rekenmachine te gebruiken. Om volledig te weten hoe deze eenvoudige en soortgelijke trigonometrische vergelijkingen op te lossen, lees het boek getiteld: "Trigonometrie: triggelijke vergelijkingen en ongelijkheden oplossen"(" Trigonometrie: resolutie van trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden ") (Amazon E-book 2010).

Voorbeeld 1: solve sin x = 0.866. De conversietabel of rekenmachine geeft u x = Pi / 3 als antwoord. De omtrek van de eenheid geeft een andere boog (2Pi / 3) met dezelfde waarde als de sinus (0,866). Bovendien geeft de omtrek van de eenheid een oneindig aantal antwoorden die uitgebreide oplossingen worden genoemd.

x1 = Pi / 3 + 2k.Pi en x2 = 2Pi / 3 (oplossingen in het interval (0, 2Pi))

x1 = Pi / 3 + 2k Pi, en x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi (uitgebreide oplossingen)

Voorbeeld 2: solve: cos x = -1/2. De calculator geeft x = 2 Pi / 3 als resultaat. De omtrek van de eenheid geeft een ander resultaat x = -2 Pi / 3.

x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, en x2 = - 2Pi / 3 (oplossingen in het interval (0, 2Pi))

x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi en x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi (uitgebreide oplossingen)

Voorbeeld 3: solve: tg (x - Pi / 4) = 0.

x = Pi / 4- (oplossing)

x = Pi / 4 + k Pi- (uitgebreide oplossingen)

Voorbeeld 4: los cotg 2x = 1.732 op. De calculator en de omtrek van de eenheid resulteren in cotg 2x = 1.732.

x = Pi / 12- (oplossing)

x = Pi / 12 + k Pi- (uitgebreide oplossingen)

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 3

Leer het transformaties die worden gebruikt om trigonometrische vergelijkingen op te lossen.

Om een gegeven trigonometrische vergelijking te transformeren in een basis trigonometrische, gebruikt u algemene algebraïsche transformaties (factorisatie, gemeenschappelijke factor, polynoomidentiteiten ...), definities en eigenschappen van trigonometrische functies en trigonometrische identiteiten. Er zijn er ongeveer 31, waarvan de laatste 14 trigonometrische identiteiten, van 19 tot 31, transformatie-identiteiten worden genoemd, omdat ze worden gebruikt bij de transformatie van trigonometrische vergelijkingen. Lees het hierboven genoemde boek.

Voorbeeld 5: de goniometrische vergelijking: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan worden omgezet in een product van standaard trigonometrische vergelijkingen met behulp van trigonometrische identiteiten: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 De basisgoniometrische vergelijkingen die moeten worden opgelost zijn: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - en cos (x / 2) = 0.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 4

Zoek de bogen waarvan de goniometrische functies bekend zijn.

Voordat u trigonometrische vergelijkingen leert oplossen, moet u weten hoe u snel de bogen kunt vinden waarvan de goniometrische functies bekend zijn. Goniometrische tabellen en rekenmachines geven de conversiewaarden van de bogen, of hoeken.

voorbeeld: na het oplossen heb je cos x = 0.732. De rekenmachines geven de oplossing boog x = 42,95⁰. De omtrek van de eenheid geeft andere oplossingsbogen met dezelfde cosinuswaarde.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 5

Teken de oplossingsbogen in de omtrek van de eenheid.

U kunt de oplossingsbogen in de omtrek van het apparaat tekenen of illustreren. De eindpunten van deze oplossingsbogen vormen regelmatige polygonen in de omtrek van de eenheid. Voorbeelden:

De uiterste punten van de oplossing bogen x = Pi / 3 + k.Pi / 2 vormen een vierkant in de omtrek van de eenheid.

De bogen van oplossing x = Pi / 4 + k.Pi / 3 worden vertegenwoordigd door de hoekpunten van een regelmatige zeshoek in de omtrek van de eenheid.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 6

Leer het Methoden om trigonometrische vergelijkingen op te lossen.

Als de gegeven trigonometrische vergelijking een enkele trigonometrische functie bevat, los deze dan op als een basis trigonometrische vergelijking. Als de gegeven trigonometrische vergelijking twee of meer trigonometrische functies bevat, zijn er 2 methoden voor oplossing, afhankelijk van de mogelijkheid van transformatie.

A. Methode 1

Transformeer de gegeven trigonometrische vergelijking in een product in de vorm: f (x) .g (x) = 0 van (x) .g (x) .h (x) = 0, waarin f (x), g ( x) en h (x) zijn basis trigonometrische vergelijkingen.

Voorbeeld 6: los op: 2cos x + sin 2x = 0. (0 < X < 2pi).

Oplossing: vervang in de vergelijking de zonde 2x door het gebruik van identiteit: sin 2x = 2 * sin x * cos x.

cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Los vervolgens de 2 basis trigonometrische functies op: cos x = 0, y (sin x + 1) = 0.

Voorbeeld 7: solve: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < X < 2pi).

Oplossing: transformeer het in een product met behulp van trigonometrische identiteiten: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Los vervolgens de 2 basis trigonometrische vergelijkingen op: cos 2x = 0 en (2cos x + 1) = 0.

Voorbeeld 8: solve: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 < X < 2pi).

Oplossing: transformeer het in een product met behulp van trigonometrische identiteiten: -cos 2x * (2sen x + 1) = 0. Los vervolgens de 2 basis trigonometrische vergelijkingen op: cos 2x = 0 en (2sen x + 1) = 0.

B. Methode 2

Transformeer de trigonometrische vergelijking gegeven in een trigonometrische vergelijking met een enkele trigonometrische functie als een variabele. Er zijn een paar tips voor het selecteren van de juiste variabele. De gemeenschappelijke variabelen om te selecteren zijn: sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t en tg (x / 2) = t.

Voorbeeld 9: solve: 3sen ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sen x + 7 (0 < X < 2pi).

Oplossing: vervang (cos ^ 2 x) door (1 - sin ^ 2 x) in de vergelijking en vereenvoudig de vergelijking:

sin ^ 2 x - 2 - 2sen ^ 2 x - 4 sin x - 7 = 0. Zoek sin x = t. De vergelijking wordt: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dit is een trigonometrische vergelijking met 2 echte wortels: t1 = -1 en t2 = 9/5. De tweede t2 wordt afgewezen omdat deze> 1 is. Los dan op: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.

Voorbeeld 10: oplossen: tg x + 2 tg ^ 2 x = cotg x + 2.

Oplossing: bereken tg x = t. Transformeer de gegeven vergelijking in een vergelijking met t als een variabele: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Wis t uit dit product en los dan de standaard trigonometrische vergelijking tg x = t voor x op.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 7

Los speciale typen trigonometrische vergelijkingen op.

Er zijn een paar speciale soorten trigonometrische vergelijkingen die enkele specifieke transformaties vereisen. Voorbeelden:

a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Equations Step 8

Leer de periodieke eigenschap van trigonometrische functies.

Alle trigonometrische functies zijn periodiek, wat betekent dat ze na een rotatie gedurende een bepaalde periode terugkeren naar dezelfde waarde. Voorbeelden:

De functie f (x) = sin x heeft 2Pi als periode.

De functie f (x) = tg x heeft Pi als periode.

De functie f (x) = sin 2x heeft Pi als punt.

De functie f (x) = cos (x / 2) heeft 4Pi als periode.

Als u de periode in het probleem of de test opgeeft, hoeft u alleen de oplossingsbogen of x binnen deze periode te vinden.

NOTE: het oplossen van trigonometrische vergelijkingen is een gecompliceerde klus die vaak tot fouten leidt. Daarom moeten de oplossingen zeer zorgvuldig worden beoordeeld. Na het oplossen kunt u de oplossingen bekijken door een grafische rekenmachine te gebruiken om de gegeven trigonometrische vergelijking R (x) = 0 direct te plotten. De oplossingen (echte wortels) zullen in decimalen zijn. Pi wordt bijvoorbeeld uitgedrukt in de waarde van 3,14.

Delen op sociale netwerken:

Verwant