Hoe de stelling van Pythagoras te gebruiken

De stelling van Pythagoras beschrijft de lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek op zo`n elegante en praktische manier dat de stelling nog steeds op grote schaal wordt gebruikt. De stelling vertelt ons dat voor elke rechthoekige driehoek de som van de vierkanten van de verschillende zijden van de hypotenusa gelijk is aan het kwadraat van de hypotenuse

Inhoud

Stappen
Methode 1
Methode 2
Tips

. Met andere woorden, voor een rechthoekige driehoek met loodrechte zijden met lengte a en b met een hypotenusa van lengte c, a + b = c. de Stelling van Pythagoras Het is een van de fundamentele pijlers van de basisgeometrie, het heeft ontelbare praktische toepassingen, bijvoorbeeld met behulp van de stelling dat het gemakkelijk is om de afstand tussen twee punten op een coördinatenvlak te vinden.

stappen

Methode 1

Zoek de zijkanten van een rechthoekige driehoek

Zorg dat de driehoek een rechthoekige driehoek is. De stelling van Pythagoras geldt alleen voor rechthoekige driehoeken, dus voordat u verder gaat, is het belangrijk dat u ervoor zorgen dat de driehoek met die werk past bij het definiëren driehoek. Gelukkig is er maar één classificatiefactor om een rechthoekige driehoek te meten en dit is dat de driehoek een exacte hoek van 90 graden moet hebben.

Rechte hoeken zijn vaak gemarkeerd met een klein vierkant in plaats van een curve, om ze als zodanig te identificeren. Zoek naar dit speciale teken in de hoek van de driehoek.

Ken de variabelen a, b en c toe aan de zijkanten van de driehoek. In de stelling van Pythagoras verwijzen de variabelen a en b naar de zijden die de rechte hoek raken, terwijl de variabele c verwijst naar de hypotenusa, de langste zijde tegenover de rechte hoek. Te beginnen, overgedragen aan de korte zijden van de driehoek variabelen a en b (ongeacht welke kant indien zij minder), en wijst de variabele c de hypotenusa.

Bepaal welke kant (en) van de driehoek je gaat oplossen. De stelling van Pythagoras laat wiskundigen toe om de lengte van te vinden één kant van een rechthoekige driehoek zolang je de lengtes van de anderen kent twee kanten Bepaal welke zijde een onbekende lengte heeft, a, b o c. Als u de lengte van slechts één zijde niet weet, bent u klaar om verder te gaan.

Stel bijvoorbeeld dat we weten dat de hypotenusa een lengte van 5 heeft en een van de zijden een lengte van 3, maar we weten niet wat de lengte van de derde zijde is. In dit geval weten we dat we de lengte van de derde kant willen vinden en omdat we de lengte van de twee overblijvende zijden kennen, zijn we klaar om het op te lossen. We zullen dit probleem in de volgende stappen gebruiken.

Als je de lengte van niet weet Aan twee kanten moet je de lengte van nog een zijde bepalen om de stelling van Pythagoras te gebruiken. De basis trigonometrische functies Ze kunnen je helpen als je de ene kant van de rechte hoeken van de driehoek kent.

Vervang de twee bekende waarden in de vergelijking. Plaats de waarden van de lengten van de zijden van de driehoek in de vergelijking a + b = c. Vergeet niet dat a en b de kortere zijden zijn die in de juiste hoek aansluiten, terwijl c de hypotenusa is.

In ons voorbeeld kennen we de lengte van een van de zijden en de hypotenusa (3 en 5), dus we schrijven de vergelijking op de volgende manier 3² + b² = 5².

Bereken de vierkanten. Om de vergelijking op te lossen, pakt u het vierkant van elk van de bekende zijden. Een ander alternatief (als je het gemakkelijker vindt), is om de vierkanten in hun exponentiële vorm achter te laten en ze vervolgens vierkant te maken.

In ons voorbeeld nemen we het kwadraat van 3 en 5 om te krijgen 9 en 25, respectievelijk. We kunnen de vergelijking herschrijven als 9 + b² = 25.

Wis de onbekende variabele. Gebruik zo nodig de basale algebra-bewerkingen om de onbekende variabele aan de ene kant van het gelijkteken en de twee vierkanten aan de andere kant van het bord te laten. Als je de hypotenusa gaat vinden, staat c al aan de kant van het gelijkteken, dus je hoeft het niet schoon te maken.

In ons voorbeeld is de vergelijking 9 + b² = 25. Om bsup2 te wissen, trekt u 9 af van beide kanten van de vergelijking. Deze laten ons achter met b² = 16.

Neem vierkantswortel aan beide zijden van de vergelijking. Nu moet je aan de ene kant van de vergelijking één variabele vierkant en één nummer aan de andere kant laten staan. Neem eenvoudigweg vierkantswortel aan beide zijden om de lengte van de onbekende kant te vinden.

In ons voorbeeld, b² = 16, met vierkantswortel aan beide zijden verkrijgen we dat b = 4. Daarom kunnen we zeggen dat de lengte van de onbekende kant van de driehoek 4.

Gebruik de stelling van Pythagoras om de zijden van driehoeken van de echte wereld te vinden. De reden waarom de stelling van Pythagoras zo veel wordt gebruikt, is omdat het in een aantal praktische situaties van toepassing is. Leren rechterdriehoeken in het echte leven te herkennen, in elke situatie waarin twee rechte objecten of lijnen zich in een rechte hoek bevinden en een derde lijn of object zich diagonaal door de juiste hoek uitstrekt, kunt u de stelling van Pythagoras gebruiken om de juiste lengte van één van de zijden, gezien de lengte van de twee overblijvende zijden.

Laten we een voorbeeld uit de echte wereld proberen dat een beetje moeilijker is. Een ladder leunt tegen een gebouw. De voet van de trap ligt op 5 meter van de onderkant van de muur. De trap bereikt 20 meter van de muur van het gebouw. Hoe lang is de ladder?

"Vijf meter van de bodem van de wand" en "20 meter van de gebouwwand" zijn sporen van de lengtes van de zijden van de driehoek. Omdat de lengte van de muur en de vloer (vermoedelijk) in een rechte hoek staan en de ladder diagonaal tegen de muur helt, kunnen we ons de situatie voorstellen als een rechte hoek met zijden van een lengte van a = 5 en b = 20. De lengte van de ladder is de hypotenusa, dus c is onbekend. Laten we de stelling van Pythagoras toepassen:

a² + b² = c²

(5) ² + (20) ² = c²

25 + 400 = c²

425 = c²

sqrt (425) = c

c = 20.6. De geschatte lengte van de trap is 20,6 meter.

Methode 2

Bereken de afstand tussen twee punten in een tweedimensionaal vlak

Definieer de twee punten in het vlak. De stelling van Pythagoras kan eenvoudig worden gebruikt om de afstand te berekenen van de rechte lijn die een twee in een tweedimensionaal vlak wijst. Het enige dat u moet weten, zijn de lengten van de coördinaten x, y, van elke twee punten. Normaal gesproken worden deze coördinaten geschreven als geordende paren van de vorm (x, y).

Om de afstand tussen deze twee punten te vinden, gebruiken we elk punt als een van de hoeken zonder een rechte hoek van de driehoek. Daarbij is het gemakkelijker om de lengte van de zijden a en b te vinden en vervolgens c (de hypotenusa), de afstand tussen de twee punten, te berekenen.

Teken de twee punten in een grafiek. In een normaal tweedimensionaal vlak is x voor elk punt (x, y) een coördinaat op de horizontale as terwijl y een coördinaat op de verticale as is. Je kunt de afstand tussen de twee punten vinden zonder de grafiek te hoeven maken, maar hierbij krijg je een visuele referentie die je kunt gebruiken om ervoor te zorgen dat het antwoord klopt.

Zoek de lengtes van de zijkanten anders dan de hypotenusa (zijde a en b) van de driehoek. Gebruik de twee punten als de hoeken van de driehoek naast de hypotenusa en vind de lengtes van de zijden a en b van de driehoek. U kunt het visueel in de grafiek doen of u kunt ook de formules | x gebruiken₁ - X₂| voor de horizontale zijde en | y₁ - en₂| voor de verticale zijde, waar (x₁,en₁) is het eerste punt y (x₂,en₂) is de tweede.

Stel dat de twee punten (6, 1) en (3, 5) zijn. De lengte van de horizontale zijde van de driehoek is gelijk aan:

| x₁ - X₂|

3 - 6 |

| -3 | = 3

De lengte van de verticale zijde is gelijk aan:

| en₁ - en₂|

1 - 5 |

| -4 | = 4

Dus kunnen we zeggen dat in onze rechter driehoek de zijde a = 3 en de zijde b = 4.

Gebruik de stelling van Pythagoras om de hypotenusa te vinden. De afstand tussen de twee punten is de schuine zijde van de driehoek waarvan u de zijden hebt gedefinieerd. Pas de stelling van Pythagoras toe zoals je normaal de hypotenusa zou vinden, met a als de lengte van de eerste kant en b als de lengte van de tweede.

In ons voorbeeld met de punten (3, 5) en (6, 1) zijn de lengtes van de zijden 3 en 4, dus om de hypotenusa te vinden, doen we het volgende:

(3) ² + (4) ² = c²

c = sqrt (9 + 16)

c = sqrt (25)

c = 5. De afstand tussen (3, 5) en (6, 1) is 5.

tips

De hypotenusa is altijd:
De rechte lijn langs de rechter driehoek (die de rechte hoek niet raakt)
De langste zijde van de rechter driehoek
De waarde die wordt vervangen in c in de stelling van Pythagoras
Als de driehoek geen rechthoekige driehoek is, hebt u meer informatie nodig dan alleen de lengte van twee zijden.
sqrt (x) betekent "vierkantswortel van x" (dit is geschreven door zijn Engelse naam "vierkantswortel").
Vergeet niet om je werk altijd te herzien. Als het antwoord niet klopt, keer dan terug en probeer het opnieuw.
Een andere truc, de langere kant is tegenover de grotere hoek en de kortere kant is tegenover de kleinere hoek.
De diagrammen zijn de sleutel om de waarden van a, b en c correct toe te wijzen. Als u aan een applicatie-oefening werkt, vergeet dan niet om alle waarden in een diagram op te nemen.
Als je maar de lengte van één kant hebt, zal de stelling van Pythagoras niet werken. Probeer trigonometrie (sin, cos, tan) of verhoudingen 30 - 60 - 90 of 45 - 45 - 90 te gebruiken om het probleem op te lossen.

Delen op sociale netwerken:

Verwant