Hoe het gebied van een vierkant te vinden met behulp van de lengte van de diagonaal

De meest gebruikelijke formule voor het gebied van een vierkant is eenvoudig: het is de lengte van de vierkantkant of een vierkant. Soms weet u echter alleen de lengte van de diagonaal van het vierkant dat tussen de tegenovergestelde hoekpunten doorloopt. Als je de juiste driehoeken hebt bestudeerd, kun je een nieuwe gebiedformule vinden die de diagonaal als enige variabele gebruikt.

Inhoud

Stappen

Deel 1zoek het gebied vanaf de diagonaal
Deel 2aanvullende informatie

Tips

stappen

Deel 1
Zoek het gebied vanaf de diagonaal

Titel afbeelding Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 3

Teken het vierkant. Een vierkant heeft vier gelijke zijden. Laten we zeggen dat elk een lengte heeft van "een".

Titel afbeelding Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 4

Controleer de basisformule van het gebied van een vierkant. Het oppervlak van een vierkant is gelijk aan de lengte van de breedte. Omdat elke kant is a, de formule zou zijn Oppervlakte = a x a = a. Deze formule zal later nuttig zijn.

Titel afbeelding Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 5

Verbind twee tegenover elkaar liggende hoeken om een diagonaal te maken. Geef aan dat de maat van deze diagonaal is d units. Deze diagonaal verdeelt het vierkant in twee rechthoekige driehoeken.

Titel afbeelding Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 6

Gebruik de Stelling van Pythagoras in een van de driehoeken. De stelling van Pythagoras is een formule voor het vinden van de hypotenusa (de langste zijde) van een rechthoekige driehoek: (zijkant één) + (zijde twee) = (hypotenusa) of

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}

.Nu het vierkant in tweeën is verdeeld, kunt u deze formule gebruiken in een van de juiste driehoeken:

De twee kortere zijden van de driehoek zijn de zijkanten van het vierkant en elk heeft een lengte van a.

De hypotenusa is de diagonaal van het vierkant en heeft een lengte van d.

Daarom moeten we

{ displaystyle a ^ {2} + a ^ {2} = d ^ {2}

Titel afbeelding Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 7

Voeg de vergelijking toe zodat de variabelen a aan één kant staan. Vergeet niet dat we al weten dat het gebied op het plein gelijk is aan a. Als u de variabelen aan één kant kunt samenvoegen, krijgt u een nieuwe vergelijking voor het gebied:

{ displaystyle a ^ {2} + a ^ {2} = d ^ {2}

Vereenvoudig zodat het er zo uitziet:

{ displaystyle 2a ^ {2} = d ^ {2}}

Verdeel de zijkanten door 2 en het ziet er als volgt uit:

{ displaystyle a ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}}

Gebied =

{ displaystyle a ^ {2} = { frac {d ^ {2}} {2}}}

Gebied =

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}

Titel afbeelding Find the Area of a Square Using the Length of its Diagonal Step 9

Gebruik deze formule in het kwadraat van het voorbeeld. Deze stappen hebben aangetoond dat de formule Area =

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}

Het werkt voor alle vierkanten. Maak gewoon een diagonaal die meet d en los op.

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat een vierkant een diagonaal heeft van 10 cm.

Gebied =

{ displaystyle { frac {10 ^ {2}} {2}}}

{ displaystyle { frac {100} {2}}}

= 50 vierkante centimeter.

Deel 2
Aanvullende informatie

Zoek de diagonaal uit de lengte van één kant. De stelling van Pythagoras voor een vierkant met één kant a en een diagonaal d geeft je de formule ${ displaystyle 2a ^ {2} = d ^ {2}}$ .Verkrijg de waarde van d als je de lengte van de zijkant kent en de diagonaal wilt vinden:
${ displaystyle 2a ^ {2} = d ^ {2}}$
${ displaystyle { sqrt {2a ^ {2}}} = { sqrt {d ^ {2}}}}$
${ displaystyle to { sqrt {2}} = d}$
Als een vierkant bijvoorbeeld een zijde van 18 cm heeft, is de diagonaal d = 18√2 of bijna 25,46 cm.
Als u geen rekenmachine heeft, kunt u 1.4 gebruiken als een schatting van √2.

Zoek de lengte van de zijkant van de diagonaal. Als je de diagonaal krijgt en je weet dat de diagonaal van een vierkant is

{ displaystyle to { sqrt {2}}}

,dan kun je beide kanten verdelen

{ displaystyle { sqrt {2}}}

verkrijgen

{ displaystyle a = { frac {d} { sqrt {2}}}}

Een vierkant met een diagonaal van 10 cm heeft bijvoorbeeld zijden van een lengte van

{ displaystyle { frac {10} { sqrt {2}}} = 7.071}

cm.

Als je de lengte van de zijkant en het gebied van de diagonaal moet vinden, kun je eerst deze formule gebruiken en dan snel het antwoord verdelen om het gebied te krijgen: Gebied

{ displaystyle = a ^ {2} = 7,071 ^ {2} = 50}

vierkante centimeter. Dit proces is sindsdien minder precies

{ displaystyle { sqrt {2}}}

Het is een irrationeel getal dat kan leiden tot afrondingsfouten.

Interpreteer de formule van het gebied. Wiskunde verifieert de formule Area =

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}

-is er echter een manier om het direct te testen? Nou,

{ displaystyle d ^ {2}}

is het gebied van een tweede vierkant met de diagonaal als zijkant. Omdat de volledige formule is

{ displaystyle { frac {d ^ {2}} {2}}}

,je kunt redeneren dat dit tweede vierkant precies twee keer zo groot is als het oorspronkelijke vierkant. Je kunt het zelf proberen:

Teken een vierkant op een vel papier. Zorg ervoor dat alle zijden gelijk zijn.

Meet de diagonaal. Teken een tweede vierkant met een dergelijke maat als zijn kant.

Maak een kopie van je eerste vierkant, zodat je twee van die grootte hebt. Scheid de drie vierkanten.

Snijd de twee kleinere vierkanten op een of andere manier zodat u ze kunt rangschikken zodat ze in het grote vierkant passen. Ze zouden de ruimte perfect moeten vullen en dat zal je laten zien dat het gebied van het grootste vierkant precies het dubbele is van het gebied van het kleinste vierkant.

tips

Als u geen rekenmachine heeft en u een nauwkeuriger schatting voor de vierkantswortel van 2 nodig heeft, zijn er manieren om bereken het handmatig. De methode van Newton en Raphson is een voorbeeld.
Deze eenvoudige vergelijking wordt op vele gebieden gebruikt, inclusief in kristallografie, chemie of kunst. Bijvoorbeeld, kunt u deze gebruiken om het gebied van een landschap dat je kunt zien te berekenen wanneer u een meting doen of u kunt het ook gebruiken als je perspectief gebruikt in de fotografie of schilderij meet gelopen afstand en stel je een rooster met die afstand als diagonaal.
Als u liever een meer visuele dan wiskundige benadering of als u wilt leren hoe u tabellen en grafieken gebruiken in de kunst, onderzoekt de spiraalvormige baan van een deeltje of zoeken artikelen over afbeeldingen van Microsoft Excel spreadsheets of afbeeldingen.

Delen op sociale netwerken:

Verwant