Hoe de stelling van Pythagoras te controleren

Inhoud

Stappen

Methode 1gebruik vierkanten
Methode 2gebruik een trapezium

Hiermee kunt u de lengte van de derde zijde van een rechthoekige driehoek verkrijgen als u de waarden van de andere twee kent. De naam komt van Pythagoras, een wiskundige uit het oude Griekenland. Deze stelling stelt dat de som van de vierkanten van twee zijden van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa: a + b = c. Deze stelling kan op verschillende manieren worden aangetoond. Sommigen gebruiken vierkanten, rechthoeken en andere geometrische concepten. Hier ziet u twee van de meest voorkomende demonstraties.

stappen

Methode 1
Gebruik vierkanten

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 1

Teken vier congruente rechthoekige driehoeken. De congruente driehoeken zijn die waarvan de drie zijden gelijk zijn. Teken de twee zijden (benen) met een lengte a en b, en de hypotenusa met een lengte c. De stelling van Pythagoras stelt dat de som van de vierkanten van de twee zijden van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa, daarom moeten we aantonen dat a + b = c.

Vergeet niet dat de stelling van Pythagoras alleen van toepassing is op rechterdriehoeken.

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 2

Sorteer de driehoeken zodat ze een vierkant vormen met de zijkanten a + b. Door de driehoeken op deze manier te plaatsen, vormen ze een kleiner vierkant (van groene kleur) binnen het grotere vierkant dat vier gelijke zijden van lengte heeft c, wat hetzelfde is als de hypotenusa van elke driehoek. De lengte van de zijkanten van het grootste vierkant is gelijk aan a + b. Het grotere vierkant heeft zijden van lengte a + b.

U kunt de hele tekening 90 graden roteren (roteren) en deze zal er precies hetzelfde uitzien. Je kunt het zelfs zo vaak draaien als je wilt en het blijft hetzelfde. Dit is alleen mogelijk omdat de hoeken van de hoeken precies hetzelfde zijn.

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 3

Herwerk dezelfde vier driehoeken zodat ze twee gelijke rechthoeken vormen in het grotere vierkant. Nogmaals, het grootste vierkant heeft lengtezijden a + b, maar met deze nieuwe configuratie zijn er twee rechthoeken (van grijze kleur) van dezelfde grootte en twee kleinere vierkanten binnen het grotere vierkant. Het grootste vierkant van de twee kleine vierkanten (rood) heeft lange zijden naar, terwijl de kleinste (blauw) de lange zijden heeft b.

De schuine zijde van de oorspronkelijke driehoeken is nu de diagonaal van de twee rechthoeken die de driehoeken vormen.

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 4

Merk op dat het gebied dat niet door de driehoeken wordt gevormd in beide gevallen hetzelfde is. In beide gevallen heb je een groot vierkant waarvan de zijkanten een lengte hebben van a + b. Gezien deze toestand is het gebied van beide grote vierkanten hetzelfde. Als u beide gevallen bekijkt, ziet u dat het totale gebied van het groene vierkant gelijk is aan de som van de blauwe en rode gebieden van het tweede geval.

In beide gevallen is het oppervlak gedeeltelijk bedekt met precies hetzelfde gebied: vier grijze vierkanten die elkaar niet overlappen. Dit betekent dat het gebied buiten de driehoeken in beide gevallen hetzelfde is.

Daarom moet het gebied dat wordt ingenomen door de blauwe en rode vierkanten hetzelfde zijn als het gebied dat wordt ingenomen door het groene vierkant.

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 5

Maak de gebieden van de twee gevallen precies gelijk aan elkaar. Het blauwe gebied is naar, het rode gebied b en het groene gebied c. Nu moet je de gebieden van de rode en blauwe vierkanten optellen om het gebied van het groene vierkant te krijgen. Daarom blauw gebied + rood gebied = groen gebied: a + b = c.

Hiermee wordt de stelling van Pythagoras bewezen.

Methode 2
Gebruik een trapezium

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 6

Teken een standaardtrapezium a + b en zijkanten naar en b. Schets een trapezium met de volgende afmetingen: linkerkant met hoogte naar, rechterkant met hoogte naar en een baselengte a + b. Plaats nu eenvoudig het bovenste deel van de rechterkant en de linkerkant om de trapezium af te maken.

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 7

Verdeel de trapezoïde in drie rechthoekige driehoeken, waarvan er twee congruent zijn. Verdeel de basis van de driehoek aan de zijkanten naar en b zodat twee rechter driehoeken van lengte worden gevormd naar en b, en een in lengte c. De derde driehoek heeft twee zijden van lengte c en een lange hypotenusa d.

De twee kleinere driehoeken zijn congruent (identiek).

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 8

Bereken het gebied van de trapezoïde met behulp van de formule van het gebied. Het gebied van een trapezium is: A = ½ (b₁ + b₂) h, waarin b₁ is een van de rechte zijden van de trapezium, b₂ is de andere rechte kant van de trapezoïde en h is de hoogte van de trapezoïde. In deze trapezoïde, b₁ dit is naar, b₂ dit is b en h dit is a + b.

Het gebied van de trapezium is A = ½ (a + b) (a + b).

Door de binomials uit te breiden, krijg je: A = ½ (a + 2ab + b).

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 9

Bereken het totale gebied door de gebieden van de drie driehoeken toe te voegen. Het gebied van een van de juiste driehoeken is A = ½bh, waarin b is de basis van de driehoek en h zijn hoogte. Deze trapezoïde was verdeeld in drie verschillende driehoeken, daarom moet je de gebieden van alle drie toevoegen. Bereken eerst het gebied van elk en voeg ze vervolgens toe aan alle.

Omdat twee van de driehoeken identiek zijn, kunt u eenvoudig het gebied van de eerste driehoek vermenigvuldigen met twee: 2A₁ = 2 (½bh) = 2 (½ab) = ab.

Het gebied van de derde driehoek is Een₂ = ½bh = ½c * c = ½c.

Het totale oppervlak van de trapezium is Een₁ + Een₂ = ab + ½c.

Titel afbeelding Prove the Pythagorean Theorem Step 10

Koppel de formules van de gebieden met elkaar. Omdat beide formules gelijk zijn aan het totale gebied van de trapezoïde, kunt u ze eenvoudig met elkaar gelijkstellen. Zodra de gelijken zijn, kunt u de vergelijking tot de eenvoudigste vorm reduceren.

½ (a + 2ab + b) = ab + ½c.

Vermenigvuldig beide zijden met 2 om van de ½ af te komen: (a + 2ab + b) = 2ab + c.

Trek 2ab aan beide zijden af: a + b = c.

Eindelijk krijg je de demo die je zoekt: a + b = c.

Delen op sociale netwerken:

Verwant