Hoe trigonometrische ongelijkheden op te lossen

Een trigonometrische inequatie bevat een of meer goniometrische functies van de variabele boog x in de vorm R [f (x), g (x), ...]> 0 (of < 0), waarin f (x), g (x), ... trigonometrische functies van boog x zijn. Wissen van "x" betekent het vinden van de waarden van de variabele boog x waarvan trigonometrische functies zorgen dat de ongelijkheid wordt voldaan. Al deze waarden van "x" vormen de oplossingsreeks van de trigonometrische inequatie, die wordt uitgedrukt in intervallen. De waarden van de boog x worden uitgedrukt in radialen of graden.

Voorbeelden van trigonometrische onevenwichtigheden:

sin x + sin 2x> -sen 3x - sin x + sin 3x < 1 - 2tan x + tan 2x> 3cot x - cos 2x -2> -3sen x

stappen

Titel afbeelding Solve an Algebraic Expression Step 4

Om een trigonometrische inequatie op te lossen, transformeert u deze in verschillende standaard trigonometrische ongelijkheden. Het oplossen van trigonometrische onevenwichtigheden leidt uiteindelijk tot het oplossen van elementaire trigonometrische ongelijkheden.

Het transformatieproces is hetzelfde als datgene dat werd gebruikt om trigonometrische vergelijkingen op te lossen.
De gemeenschappelijke periode van een trigonometrische inequatie is het kleinste gemene veelvoud van de perioden van alle goniometrische functies die in gelijkheid worden gepresenteerd.
Bijvoorbeeld, de trigonometrische inferentie sin x + sin 2x + cos x / 2 < 1 heeft 4Pi als een gemeenschappelijke periode.
De trigonometrische expressie tan x + cot x / 2 heeft bijvoorbeeld 2Pi als de gemeenschappelijke periode.
Tenzij anders aangegeven, moet de oplossingsset van een trigonometrische inequatie ten minste binnen een volledige gemeenschappelijke periode worden opgelost.

Leer de 4 soorten standaard trigonometrische inequations:

sin x> a (of < a) - cos x> a (of < a)

dus x> a (of < a) - ledikant x> a (of < a)

Om te weten hoe deze basis trigonometrische ongelijkheden op te lossen, lees het boek met de titel "Trigonometrie: Oplossen goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden "(" Trig: oplossen van vergelijkingen en trigonometrische ongelijkheid "). (Amazon e-book 2010) elementaire trigonometrische inequations lossen, we doorgaan naar de verschillende posities van de boog variabele x, die roteert in de studie Trigonometrische eenheidomtrek en om trigonometrische tabellen of rekenmachines te gebruiken.

Voorbeeld 1: los op: sin x> 0.709

Oplossing: de trigonometrische eenheidomtrek en de trigonometrische tabel bieden de oplossing.

Pi / 4 + 2k.Pi < X < 3Pi / 4 + 2k.Pi

Voorbeeld 2: Oplossen: tan x < 0,414

Oplossing: de trigonometrische tabel en de omtrek van de trigonometrische eenheid vormen de oplossing.

-Pi / 2 + k.Pi < X < Pi / 8 + k.Pi

Titel afbeelding Solve an Algebraic Expression Step 1

Als de trigonometrische inequatie slechts één trigonometrische functie bevat, los deze dan op als een basis trigonometrische inequatie. Als de ongelijkheid gecompliceerder is en twee of meer trigonometrische functies bevat, lost u deze in 4 stappen op.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Inequalities Step 5

Stap 1: transformeert de gegeven ongelijkheid in de standaardvorm R [x]> 0 (of < 0).

Voorbeeld: de ongelijkheid (cos 2x < 2 + 3sen x) wordt omgezet in de standaardvorm: R [x] = cos 2x - 3sen x -2 < 0.

Voorbeeld: de inequation (2tan x + tan 2x> 3cot x) wordt getransformeerd in R [x] = 2tan x + tan 2x - 3cot x> 0.

Stap 2 Zoek de gemeenschappelijke periode. De gemeenschappelijke periode van een trigonometrische inequatie moet het minst vaak voorkomende veelvoud zijn van de perioden van alle trigonometrische functies in de ongelijkheid.

Voorbeeld: de trigonometrische inequatie R [x] = cos 2x - 3sen x - 2 < 0 heeft een 2Pi als een gemeenschappelijke periode, wat het minst vaak voorkomende veelvoud van de 2 perioden is: 2Pi en Pi.

Bijvoorbeeld: de trigonometrische inequation sin x + sin 2x + sin 3x> 0 moet 2PI als gemeenschappelijke periode welke het kleinste gemene veelvoud van 3 periodes: 2Pi, Pi en 2Pi / 3.

Voorbeeld: de trigonometrische inequatie sin 3x + cos x / 2 - 1 < 0 heeft een 4Pi als een gemeenschappelijke periode.

Titel afbeelding Solve Trigonometric Inequalities Step 7

Stap 3 Transformeer de gegeven naar de trigonometrische vergelijking R [x] = 0 en wis "x" ervan. Om te weten hoe de trigonometrische vergelijking R [x] = 0 te transformeren en op te lossen, lees het artikel "Hoe trigonometrische vergelijkingen op te lossen" op de wikiHow-site. Om te onthouden, hier zijn 2 benaderingen:

a. De eerste benadering transformeert de gegeven trigonometrische vergelijking in een product van verschillende elementaire trigonometrische vergelijkingen. Vervolgens worden deze basisgoniometrische vergelijkingen afzonderlijk opgelost om alle waarden van x binnen de gemeenschappelijke periode te vinden. Deze waarden van x worden gebruikt in STAP 4.

Voorbeeld: los de volgende trigonometrische ongelijkheid op: cos x + cos 2x + cos 3x> 0.

Het gebruiken van trigonometrische identiteiten de vergelijking R transformatie [x] = cos x + cos cos 2x + 3x = 0 in de volgende producten: cos 2x (1 + 2 cos x) = 0.

Los vervolgens de 2 basis trigonometrische vergelijkingen f (x) = cos2x = 0 en g (x) = 1 + cos2x = 0 op om alle waarden van x binnen de gemeenschappelijke periode te vinden.

b. De tweede benadering transformeert de gegeven trigonometrische vergelijking in een enkele trigonometrische vergelijking die slechts één trigonometrische functie ("t" genoemd) als een variabele bevat. Wis t uit deze getransformeerde trigonometrische vergelijking en koppel vervolgens de waarden van "t" aan de overeenkomstige waarden van "x". De variabelen van veelgebruikte functies die moeten worden geselecteerd, zijn de volgende: sin x = t, cos x = t, tan x = t en tan x / 2 = t.

Voorbeeld: solve R [x] = cos 4x + 3cos2x + 1 < 0.

Oplossing: transformeer de vergelijking R [x] in een kwadratische trigonometrische vergelijking met cos2x = t als een variabele:

2cos ^ 2 2x + 3cos 2x + 1 = 2t ^ 2 + 3t + 1 = 0

Zoek "t" door deze kwadratische vergelijking op te lossen. Er zijn 2 echte wortels: t = -1 en t = -1/2. Wis vervolgens "x" uit de volgende basisgonometrische vergelijkingen: cos 2x = t = -1 en cos 2x = t = -1/2. Al deze waarden van "x" worden gebruikt in STAP 4.

Titel afbeelding Check Math Problbs Easily Step 2

Stap 4 Los de trigonometrische inequatie op gegeven R (x) < 0 (of> 0) volgens de algebraïsche methode, met behulp van een tabel met tekens.

Voorbeeld: los de ongelijkheid R [x] = sin x + sin 3x op < -sen 2x (1)

Oplossing: de standaardvorm is als volgt: sin x + sin 2x + sin 3x < 0. De gemeenschappelijke periode is 2Pi. Transformeer (1) in het product R [x] = 2sen 2x (cos x - 1/2) < 0. In stap 3 oplost R (x) = 0. Los de fundamentele vergelijking f (x) = sin 2x = 0. De bogen over een oplossing zijn: 0, pi / 2, Pi, 3pi / 2, 2pi. Los vervolgens de vergelijking g (x) = cos x - 1/2 = 0 op. De bogen die de oplossing bieden, zijn Pi / 3 en 5Pi / 3. Al deze 7 waarden van "x" worden gebruikt om een tekentabel samen te stellen in stap 4 om R (x) op te lossen < 0 (of> 0)

Titel afbeelding Solve Trigonometric Inequalities Step 9

Maak een tabel met tekens waarin de bovenste regel alle waarden van x in een progressieve volgorde van 0 tot 2Pi bevat. Deze opeenvolgende waarden van "x" creëren verschillende intervallen daartussen.

Bereken eerst de variatie van f (x) = sin 2x op de tweede regel van de bordentabel. Om dit te doen moeten we de verschillende posities van de boog x in overweging nemen, die roteert in de omtrek van de trigonometrische eenheid. Bijvoorbeeld, als "x" in het eerste kwadrant is, bevindt de 2x boog zich in het tweede kwadrant en is sin 2x positief. Markeer de intervallen met "+" en ";" tekens op basis van de variatie van f (x).

Bereken vervolgens de variatie van g (x) = cos x - 1/2 op de derde regel van de bordentabel. Los en markeer de intervallen met een "+" of ";" teken, zoals in de bewerking bovenaan.

In de laatste regel de variatie van R [x] wordt berekend met tekens "+" en ";" welke combinaties van tekens Product O [x] = f (x) .G (x) in elk interval. In dit voorbeeld vormen alle intervallen ";" van de laatste regel de oplossingsreeks van de trigonometrische inequatie gegeven R (x) < 0 binnen de gemeenschappelijke periode. De oplossingsset is de volgende: (Pi / 3, Pi / 2), (Pi, 3Pi / 2) en (5Pi / 3, 2Pi).

Opmerking 1: de benadering voor het bepalen van het verloop van f (x) en g (x) is dezelfde voor het oplossen van elementaire trigonometrische inequations: is de studie van de verschillende posities van de boog variabele x in de goniometrische eenheidscirkel.

Opmerking 2: de grafische methode. Deze methode maakt gebruik van grafische rekenmachines om de trigonometrische inequatie direct te plotten, gegeven R [x]> 0 (of < 0). Deze methode, als de professoren, praktijken of examens het gebruik ervan toestaan, is snel, nauwkeurig en gemakkelijk. Om te weten hoe het te doen, lees het laatste hoofdstuk van het hiervoor genoemde trigonometrie boek.

Delen op sociale netwerken:

Verwant