Hoe een kwadratische vergelijking in kaart te brengen

Als de grafiek is getekend, de kwadratische vergelijkingen van het formulier ax + bx + c

Inhoud

Stappen
Tips

of a (x - h) + k, vormen een U-vormige curve of omgekeerde U-curve parabool. Het in kaart brengen van een kwadratische vergelijking is een kwestie van het vinden van de top, richting en meestal de intercepts op zijn assen (x, y). Als het een relatief eenvoudige kwadratische vergelijking is, kan het voldoende zijn om een tabel met waarden van x te maken om de curve met de resulterende punten uit te zetten. Zie stap 1 hieronder om aan de slag te gaan.

stappen

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Stap 1

Identificeer het type kwadratische functie waarmee u zult werken. De kwadratische vergelijking kan op drie manieren worden geschreven: de ontwikkelde vorm, de canonieke vorm en de in cijfers verdeelde vorm. U kunt een van de 3 manieren gebruiken om de kwadratische vergelijking in een grafiek weer te geven, maar het proces voor het plotten van elke vergelijking varieert enigszins. Als je een schoolopdracht gaat doen, zul je het probleem meestal op een van de volgende twee manieren ontvangen, met andere woorden, je zult niet kunnen kiezen, dus het is beter om beide methoden te begrijpen. De twee vormen van de kwadratische vergelijking zijn:

Ontwikkelde vorm. Op deze wijze wordt de vierkantsvergelijking geschreven als f (x) = ax + bx + c waarbij a, b en c reële getallen en is anders 0.

Bijvoorbeeld twee vormen ontwikkeld vierkantsvergelijking zijn: f (x) = x + 2x + 1 en f (x) = 9x 10x + -8.

Canonieke vorm. In deze vorm wordt de kwadratische vergelijking geschreven als: f (x) = a (x - h) + k- waarbij a, hyk reële getallen zijn en verschilt van 0. De canonieke vorm is ook bekend als vertex-vorm sinds hyk ze geven je rechtstreeks de vertex (middelpunt) van de parabool op het punt (h, k).

Twee canonieke vergelijkingen zijn f (x) = 9 (x - 4) + 18 en -3 (x - 5) + 1.

Als u een van deze typen vergelijkingen wilt tekenen, zoekt u eerst de top van de parabool, het middelpunt (h, k) aan het einde van de curve. De coördinaten van de vertex in de ontwikkelde vorm worden gegeven door: h = -b / 2a en k = f (h), terwijl in de canonieke vorm h en k in de vergelijking zijn gespecificeerd.

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 2

Definieer de variabelen. Om de kwadratische vergelijking op te lossen, moeten de variabelen a, b en c (of a, h en k) in het algemeen worden gedefinieerd. Normaal gesproken worden in de problemen van de wiskunde de waarden van de variabelen gegeven, meestal in een ontwikkelde vorm, maar soms ook in de canonieke vorm.

Voor de ontwikkelde vergelijking f (x) = 2x + 16x + 39 hebben we bijvoorbeeld a = 2, b = 16 en c = 39.

Voor de canonieke vorm f (x) = 4 (x - 5) + 12 hebben we a = 4, h = 5 en k = 12.

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 3

Bereken h. In de canonieke vergelijkingen is de waarde voor h al gegeven, maar in de vergelijkingen van de ontwikkelde vorm moet deze worden berekend. Denk eraan, voor vergelijkingen van ontwikkelde vorm, h = -b / 2a.

In ons ontwikkelde voorbeeld van de vergelijkingsformule hebben we dat (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Oplossen, we vinden dat h = -4.

In ons voorbeeld canonieke vorm (f (x) = 4 (x - 5) + 12), weten we dat h = 5, zonder enige wiskundige bewerking.

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 4

Bereken k. Hetzelfde als met h, k is een gegeven waarde in canonieke vergelijkingen. Voor de vergelijkingen in ontwikkelde vorm, onthoud dat k = f (h). Met andere woorden, je kunt k vinden door elke waarde van x in de vergelijking te vervangen door de waarde die je van h hebt gevonden.

In ons voorbeeld de waarde van h = -4. Om k te vinden, lossen we de vergelijking op door x te vervangen door de waarde van h:

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7.

In ons voorbeeld in canonieke vorm kennen we de waarde van k (dat is 12) al zonder enige wiskundige bewerking.

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 5

Teken de vertex. De vertex van de parabool is het punt (h, k) - h specifiek de coördinaat van x, terwijl k de coördinaat van y aangeeft. De vertex is het centrale punt van de parabool, ofwel het onderste deel van een "U" of het uiteinde van een "U" omgekeerd. Het kennen van de waarde van de top is van vitaal belang om een parabool nauwkeurig in kaart te brengen, in het algemeen, bij schooltaken, wordt de vraag gesteld om de top te specificeren.

In ons voorbeeld in ontwikkelde vorm is onze hoekpunt (-4, 7). Daarom heeft de parabool het maximale punt vier spaties links van 0 en 7 spaties boven het punt (0, 0). Dit punt moet in de grafiek worden uitgezet en zorg ervoor dat de coördinaten worden gemarkeerd.

In ons canonieke voorbeeld bevindt de vertex zich op punt (5, 12). We moeten een punt 5 spaties naar rechts en 12 spaties boven het punt tekenen (0, 0).

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 6

Teken de symmetrische as van de parabool (optioneel). De symmetrie-as van een parabool is de lijn die hem in tweeën kruist en die de parabool in twee gelijke delen verdeelt. Door deze as zal de linkerkant van de parabool een reflectie zijn van de linkerkant ervan. Voor vergelijkingen in de vorm ax + bx + c of a (x - h) + k is de as een lijn evenwijdig aan de y-as (met andere woorden, perfect verticaal) die door de top kruist.

In ons voorbeeld, met het geval in ontwikkelde vorm, is de as een lijn evenwijdig aan de x-as die het punt kruist (-4, 7). Hoewel het geen deel uitmaakt van de gelijkenis zelf, kan het zwak markeren van deze lijn in je grafiek je helpen te zien hoe de parabool symmetrisch kromt.

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 7

Zoek het openingsadres. Na het vinden van de top en de symmetrische as van de parabool, moeten we weten of de parabool open of dicht gaat. Gelukkig is het een eenvoudige procedure. als "naar" is positief, de parabool gaat open, maar als "naar" is negatief, de parabool gaat naar beneden open (dat wil zeggen, het heeft een omgekeerde U-vorm).

In ons ontwikkelde vergelijkingsvoorbeeld (f (x) = 2x + 16x + 39), weten we dat de parabool zich opent omdat in de vergelijking a = 2 (positief).

In ons voorbeeld van de canonieke vergelijking (f (x) = 4 (x - 5) + 12), weten we dat de parabool zich opnieuw opent omdat a = 4 (positief).

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 8

Zoek zo nodig de intercepts van x op en traceer ze. Meestal wordt je bij taken gevraagd om de intercepts van x te vinden (welke zijn een of twee punten waar de parabool de x-as snijdt). Zelfs als je ze niet zult vinden, kunnen deze twee punten van onschatbare waarde zijn als het gaat om het uitzetten van een precieze parabool. Echter, niet alle parabolen hebben onderschept in x. Als de parabool een hoekpunt heeft dat zich boven de x-as opent of als het opent en zijn top heeft onder de x-as, je hebt geen intercept in x. Los anders de intercepts van x op met een van de volgende methoden:

Los eenvoudig f (x) = 0 op en los de vergelijking op. Deze methode zou kunnen werken voor eenvoudige kwadratische vergelijkingen (vooral in canonieke vorm), maar het is buitengewoon moeilijk om toe te passen in complexere vergelijkingen. Zie een voorbeeld hieronder:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (x - 12) - 4

4 = 4 (x - 12)

1 = (x - 12)

Vierkant wortel (1) = (x - 12)

+/ - 1 = x -12. x = 11 en 13 zij zijn de onderscheppingen in x van de parabool.

Factor de vergelijking. Sommige vergelijkingen van de vorm ax + bx + c kunnen gemakkelijk worden verwerkt in de vorm (dx + e) (fx + g), waarbij dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. In dit geval zijn de intercepts in x de waarden van x waarvoor de waarden binnen de haakjes gelijk zijn aan 0. Bijvoorbeeld:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

In dit geval is de enige x-intercept -1 omdat vervanging x -1 veroorzaakt elke gefactoriseerde termen tussen haakjes gelijk aan 0 is.

Gebruik de kwadratische formule. Als je de intercepts van x niet gemakkelijk kunt oplossen of als je de vergelijking niet kunt gebruiken, gebruik dan een speciale vergelijking genaamd de kwadratische formule ontworpen voor dit doel. Als het niet in ontwikkelde vorm is, los dan de vergelijking op zodat deze de vorm ax + bx + c heeft, vervang dan a, b en c in de formule x = (-b +/- vierkantswortel (b - 4ac)) / 2a. Merk op dat dit je meestal twee antwoorden geeft voor x, wat prima is, dat betekent alleen dat de parabool twee onderschept in x heeft. Zie het volgende voorbeeld:

-5x + 1x + 10 wordt als volgt vervangen in de kwadratische formule:

x = (-1 +/- (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)

x = (-1 +/- vierkantswortel (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- vierkantswortel (201)) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) en (-15,18 / -10). De intercepts in x van de parabool zijn ongeveer x = -1318 en 1518

Het vorige voorbeeld, 2x + 16x + 39, wordt als volgt vervangen in de kwadratische formule:

x = (-16 +/- vierkantswortel (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)

x = (-16 +/- vierkantswortel (256 - 312)) / 4

x = (-16 +/- vierkantswortel (-56) / - 10

Omdat het onmogelijk is om de wortel van een negatief getal te vinden, weten we dat er zijn geen onderschept in x voor deze gelijkenis in het bijzonder.

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 9

Zoek en traceer zonodig de y-onderscheppingen. Hoewel het meestal niet nodig is om de intercepts van y in de vergelijking te vinden (het punt waar de parabool de y-as doorsnijdt), wordt u mogelijk gevraagd om dit te doen, vooral op school. Het proces is vrij eenvoudig, staat eenvoudig gelijk aan x = 0, en lost dan de vergelijking op voor f (x) of y, wat je de waarde van y geeft waarin de parabool de y-as raakt. Anders dan onderschept in x, kunnen ontwikkelde parabolen alleen in y een onderschepping hebben. Opmerking: voor vergelijkingen van ontwikkelde vorm is het y-snijpunt op het punt y = c.

Zo weten we dat onze vierkantsvergelijking 2x + 16x + 39 heeft een y-as = 39, maar kan ook worden gevonden als volgt:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

f (x) = 39. Het snijpunt in en van de parabool is in de punt y = 39. Zoals hierboven vermeld, is het snijpunt in y gelijk aan y = c.

Onze vergelijking van canonieke vorm 4 (x - 5) + 12, heeft een onderschepping in en die kan op de volgende manier worden gevonden:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112. Het snijpunt in en van de parabool is in de punt y = 112.

Titel afbeelding Graph a Quadratic Equation Step 10

Teken zo nodig extra punten en vervolgens een grafiek. Nu zou je de vertex, de richting, het snijpunt (en) in x en mogelijk een snijpunt in y van de kwadratische vergelijking moeten hebben. Op dit punt kun je proberen de parabool te tekenen met behulp van de punten die je hebt als leidraad of kun je meer punten vinden voor "vullen" de parabool en teken een meer precieze curve. De makkelijkste manier is om gewoon het vervangen van sommige waarden in x aan weerszijden van de top, dan plot deze punten met behulp van de waarden die je krijgt van y. Over het algemeen vragen leerkrachten je om een bepaald aantal punten te vinden voordat je de parabool tekent.

Laten we de vergelijking x + 2x + 1 bekijken. We weten al dat zijn enige intercept op x = -1 is. Omdat het snijpunt van x slechts een punt raakt, kunnen we daaruit de top afleiden is zijn onderschepping in x, wat betekent dat de vertex in het punt staat (-1, 0). Inderdaad, we hebben slechts één punt voor deze gelijkenis, we hebben niet genoeg gegevens om een goede grafiek te maken. Laten we wat meer punten vinden om een nauwkeurige grafiek te kunnen maken.

Laten we de waarden van y zoeken voor de volgende waarden van x: 0, 1, -2 en -3.

Voor 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Ons punt is (0,1).

Voor 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Ons punt is (1.4).

Voor -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Ons punt is (-2,1).

Voor -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Ons punt is (-3,4).

Plot deze punten op de grafiek en teken de U-vormige curve Merk op dat de gelijkenis is perfect symmetrisch, als je er een hele zijde van de parabool nummers, kunt u wat tijd om punten aan de overkant van de as weer te geven op te slaan symmetrisch ervan, hiermee vind je het corresponderende punt aan de andere kant van de parabool.

tips

Rond de cijfers af of gebruik breuken als je leraar je zegt dat te doen. Dit zal u helpen de kwadratische vergelijkingen correct uit te zetten.
Merk op dat in f (x) = ax + bx + c- als b of c gelijk is aan 0, deze getallen verdwijnen. 12x + 0x + 6 wordt bijvoorbeeld 12x + 6 omdat 0x gelijk is aan 0.

Delen op sociale netwerken:

Verwant