Hoe polynomen van hogere graden kunnen worden opgelost

Het oplossen van een hoogwaardig polynoom heeft hetzelfde doel als een kwadratische functie of een eenvoudige algebraïsche uitdrukking: het zoveel mogelijk integreren en vervolgens de factoren gebruiken om oplossingen te vinden voor het polynoom wanneer y = 0. Er zijn veel methoden om polynomen met een term op te lossen $X$

Inhoud
Stappen
Methode 1
Methode 2
Doe de rationele worteltest
Synthetische divisie
Tips
Waarschuwingen

3{ displaystyle x ^ {3}} of hoger U moet mogelijk meerdere gebruiken voordat u er een vindt die het probleem in kwestie dient.

stappen

Methode 1

Herken de factoren

Zoek de factoren die voor alle termen gelden. Als alle termen in het polynoom een gemeenschappelijke factor hebben, geef ze dan een factor om het probleem te vereenvoudigen. Dit is niet mogelijk voor alle polynomen, maar het is een goede benadering die u eerst kunt beoordelen.

Voorbeeld 1: vind de waarde van x in het polynoom ${ displaystyle 2x ^ {3} + 12x ^ {2} + 16x = 0}$ .
Elke term is deelbaar door 2x, dus factor ze:
${ displaystyle (2x) (x ^ {2}) + (2x) (6x) + (2x) (8) = 0}$
${ displaystyle = (2x) (x ^ {2} + 6x + 8)}$
nu los de kwadratische vergelijking op met behulp van de kwadratische formule of factoring:
${ displaystyle (2x) (x + 4) (x + 2) = 0}$
De oplossingen staan in 2x = 0, x + 4 = 0 en x + 2 = 0
De oplossingen zijn x = 0, x = -4 y x = -2

Identificeer de polynomen die fungeren als een kwadratische functie. U weet misschien al hoe u tweedegraads polynomen kunt oplossen in de vorm van

{ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}

. Je kunt polynomen van een hogere graad op dezelfde manier oplossen als ze in het formaat zijn

{ displaystyle ax ^ {2n} + bx ^ {n} + c}

. Hier zijn enkele voorbeelden:

Voorbeeld 2:

{ displaystyle 3x ^ {4} + 4x ^ {2} -4 = 0}

Verlaat dat

{ displaystyle a = x ^ {2}}

{ displaystyle 3a ^ {2} + 4a-4 = 0}

Los de kwadratische functie op met behulp van een methode:

{ displaystyle (3a-2) (a + 2) = 0}

, daarom a = -2 o a = 2/3.
vervangt ${ displaystyle x ^ {2}}$ door een: ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ of ${ displaystyle x ^ {2} = 2/3}$ .
x = ± √ (2/3). De andere vergelijking, ${ displaystyle x ^ {2} = - 2}$ , heeft geen echte oplossing (als je complexe getallen gaat gebruiken, los het dan op x = ±i√2).

Voorbeeld 3:

{ displaystyle x ^ {5} + 7x ^ {3} -9x = 0}

volgt dit patroon niet maar merkt op dat je factor a kunt gebruiken x:
${ displaystyle (x) (x ^ {4} + 7x ^ {2} -9) = 0}$
Nu kunt u behandelen ${ displaystyle x ^ {4} + 7x ^ {2} -9}$ als een kwadratische functie, zoals getoond in voorbeeld 2.

Factor de bedragen of verschillen van de kubieke termijnen. Deze speciale gevallen lijken moeilijk te beïnvloeden, maar ze hebben eigenschappen die het probleem enorm vergemakkelijken:

Som van kubussen: een polynoom in de vorm

{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}

het was in rekening gebracht

{ displaystyle (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}

Verschil van kubussen: een polynoom in de vorm

{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}

het was in rekening gebracht

{ displaystyle (a-b) (a2 + ab + b2)}

Merk op dat het kwadratische gedeelte van het resultaat niet kan worden verwerkt.

Onthoud dat

{ displaystyle x ^ {6}}

{ displaystyle x ^ {9}}

en x verhoogd tot elk vermogen deelbaar door 3 past in deze patronen.

Zoek naar patronen om andere factoren te vinden. Polynomen die niet op de voorgaande voorbeelden lijken, hebben mogelijk geen voor de hand liggende factoren. Probeer echter, voordat u de onderstaande methoden probeert, een factor twee te vinden (zoals "x + 3 ") Groepeer termen in verschillende volgordes en factoring deel van het polynoom kan je helpen het te vinden. Dit is niet altijd een haalbare benadering, dus besteed niet te veel tijd aan het proberen als het waarschijnlijk geen gemeenschappelijke factor zal vinden.

Voorbeeld 4:

{ displaystyle -3x ^ {3} -x ^ {2} + 6x + 2 = 0}

Dit heeft geen voor de hand liggende factor, maar u kunt de eerste twee termen als factor gebruiken en zien wat er gebeurt:

{ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + 6x + 2 = 0}

Nu, factor de laatste twee termen ("6x + 2 "), wijzend op een gemeenschappelijke factor:
${ displaystyle (-x ^ {2}) (3x + 1) + (2) (3x + 1) = 0}$
Nu, herschrijf het met de gemeenschappelijke factor "3x + 1 ":
${ displaystyle (3x + 1) (- x ^ {2} +2) = 0}$

Methode 2

De rationele wortels en de synthetische divisie

Probeer een wortel van het polynoom te identificeren. Synthetische indeling is een handige manier om polynomen op hoog niveau te berekenen, maar het werkt alleen als u al een van de wortels (of "nullen") kent. Je zou het kunnen vinden door te factureren zoals hierboven beschreven of het probleem kan je er een geven. Als dat zo is, ga naar de instructies op de synthetische afdeling. Als je geen wortels kent, ga dan naar de volgende stap om er een te vinden.

De wortel van een polynoom is de waarde van x waarvoor y = 0. Ken een root c geeft je ook een polynomiale factor, ("x - c ").

Doe de rationele worteltest

1

Maak een lijst van de factoren van de constante looptijd. De "rationele wortels" -test is een manier van raden mogelijke waarden van de root. Om te beginnen, maak een lijst van alle factoren van de constante (de term die geen variabele heeft).
Voorbeeld: de polynoom ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ heeft de constante termijn 9. Zijn factoren zijn 1, 3 en 9.
2

Maak een lijst van de factoren van de hoofdcoëfficiënt. Dit is de coëfficiënt in de eerste term van het polynoom wanneer deze is georganiseerd van de hoogste graad tot de laagste graad. Maak een lijst van alle factoren van dat nummer op een aparte regel.
Voorbeeld (vervolg): ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ het heeft een hoofdcoëfficiënt van 2. De factoren zijn 1 en 2.
3

Zoek naar mogelijke wortels. Als het polynoom een rationale wortel heeft (wat niet altijd gebeurt), moet het gelijk zijn aan ± [een factor van de constante] / [een factor van de hoofdcoëfficiënt]. Slechts één nummer c in deze vorm kan voorkomen in de factor "(x - c) "van het oorspronkelijke polynoom.
Voorbeeld (verv.): Elke rationele wortel van dit polynoom is in de vorm [1, 3 of 9] gedeeld door [1 of 2]. De mogelijkheden omvatten ± 1/1, ± 1/2, ± 3/1, ± 3/2, ± 9/1 of ± 9/2. Vergeet het "±" niet: elk van deze mogelijkheden kan positief of negatief zijn.
4

Test de wortels totdat je er een vindt die past. Het is niet gegarandeerd dat een van deze een wortel is, dus u moet ze testen in de oorspronkelijke polynoom.
Voorbeeld: [1/1 = 1] is een mogelijke root. Als het een echte root blijkt te zijn, moet vervanging in de polynoom 0 opleveren.
${ displaystyle 2 (1) ^ {3} + (1) ^ {2} -12 (1) + 9 = 2 + 1-12 + 9 = 0}$ , dus het wordt bevestigd dat het een wortel is.
Dit betekent dat het polynoom de factor "heeft (x - 1) ".
Als geen van de mogelijkheden werkt, heeft het polynoom geen rationele wortels en kan het niet worden meegerekend.

Synthetische divisie

1

Het vestigt een probleem van synthetische deling. De synthetische verdeling is een manier om alle factoren van een polynoom te vinden als je er al een kent. Om het probleem vast te stellen, schrijft u een root van de polynoom. Trek een verticale lijn naar rechts en schrijf vervolgens de polynoomcoëfficiënten die zijn besteld van de exponent van de hoogste graad naar de laagste graad. (U hoeft de termen zelf niet te schrijven, alleen de coëfficiënten).
Let op: het kan zijn dat u termen moet invoeren met een nulcoëfficiënt. Herschrijf bijvoorbeeld de polynoom ${ displaystyle x ^ {3} + 2x}$ als ${ displaystyle x ^ {3} + 0x ^ {2} + 2x + 0}$ .
Voorbeeld (verv.): De bovengenoemde rationele worteltest stelde vast dat het polynoom ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ heeft de root 1.
Schrijf de wortel 1 gevolgd door een verticale lijn en de polynoomcoëfficiënten:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 end {pmatrix}}}$
2

Verlaag de eerste coëfficiënt. Kopieer de eerste coëfficiënt over de antwoordregel. Laat een lege regel tussen de twee cijfers om later berekeningen uit te voeren.
Voorbeeld (verv.): Verlaag de 2 naar de antwoordregel:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 end {pmatrix}}}$
3

Vermenigvuldig dat aantal met de wortel. Schrijf het antwoord direct onder de volgende term, maar niet in de antwoordregel.
Voorbeeld (verv.): Vermenigvuldig de 2 met de wortel om weer 2 te krijgen. Schrijf die 2 in de volgende kolom, maar in de tweede rij in plaats van in de antwoordregel:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 2 end {pmatrix}}}$
4

Voeg de inhoud van de kolom toe om het volgende deel van het antwoord te krijgen. De tweede kolom met coëfficiënten bevat nu twee getallen. Voeg ze toe en schrijf het resultaat direct op de antwoordregel.
Voorbeeld (vervolg): 1 + 2 = 3
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 2 23 end {pmatrix}}}$
5

Vermenigvuldig het resultaat met de wortel. Zoals je eerder deed, vermenigvuldig je het laatste nummer in de antwoordregel met de root. Schrijf je antwoord onder de volgende coëfficiënt.
Voorbeeld (verv.): 1 x 3 = 3:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23 end {pmatrix}}}$
6

Zoek de som van de volgende kolom. Voeg zoals hiervoor de twee getallen in de kolom toe en noteer het resultaat in de antwoordregel.
Voorbeeld (verv.): -12 + 3 = -9:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23 23-9 end {pmatrix}}}$
7

Herhaal dit proces totdat u de laatste kolom bereikt. Het laatste nummer in de antwoordregel is altijd nul. Als u een ander resultaat krijgt, controleert u uw werk op fouten.
Voorbeeld (verv.): Vermenigvuldig -9 met wortel 1, noteer het antwoord onder de laatste kolom en bevestig vervolgens dat de som van de laatste kolom nul is:
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 | 21-129 23-9 23-90 end {pmatrix}}}$
8

Gebruik de antwoordregel om een andere factor te vinden. Nu heb je de polynoom verdeeld tussen de term "(x - c) ", waar c is de factor. De antwoordregel vertelt u de coëfficiënt van elke term in uw antwoord. Het deel van x van elke term heeft een exponent van één graad minder dan de oorspronkelijke term er direct op.
Voorbeeld (vervolg): de antwoordregel is 2 3 -9 0, maar u kunt de laatste nul negeren.
Omdat de eerste term van het oorspronkelijke polynoom een a omvatte ${ displaystyle x ^ {3}}$ , De eerste termijn van uw antwoord is een graad lager: ${ displaystyle x ^ {2}}$ . Daarom is de eerste term dat ${ displaystyle 2x ^ {2}}$ .
Herhaal de procedure om het antwoord te krijgen ${ displaystyle 2x ^ {2} + 3x-9}$ .
Nu, u hebt rekening gehouden ${ displaystyle 2x ^ {3} + x ^ {2} -12x + 9}$ in ${ displaystyle (x-1) (2x2 + 3x-9)}$ .
9

Herhaal indien nodig. Je zou je reactie in kleinere delen kunnen verwerken met dezelfde methode van synthetische deling. U kunt echter een snellere methode gebruiken om het probleem te verhelpen. Als u bijvoorbeeld een kwadratische uitdrukking hebt, kunt u deze factor gebruiken met de kwadratische formule.
Onthoud: om de methode van synthetische deling te beginnen, moet je een wortel kennen. Gebruik de rationale worteltest opnieuw om deze te verkrijgen. Als geen van de mogelijke wortels werkt, kan de uitdrukking niet worden verwerkt.
Voorbeeld (verv.): U hebt de factoren gevonden ${ displaystyle (x-1) (2x2 + 3x-9)}$ , maar de tweede factor kan verder worden verdeeld. Test de kwadratische vergelijking, de traditionele ontbinding of de synthetische divisie.
Het laatste antwoord is ${ displaystyle (x-1) (x + 3) (2x-3)}$ , dus de wortels van het polynoom zijn x = 1, x = -3 en x = 3/2.

tips

De voorwaarden roots, nullen en oplossingen verwijs naar de waarden van x dat maakt f (x) = 0. Ze kunnen onderling uitwisselbaar worden gebruikt.
De kubieke en quartische formules bestaan op dezelfde manier als de kwadratische formule, maar ze zijn veel gecompliceerder en worden niet vaak gebruikt behalve op de computer. De polynomen van de vijfde graad en de hogere graad hebben geen algemene oplossing met behulp van eenvoudige algebraïsche technieken, maar sommige voorbeelden kunnen worden verwerkt met behulp van de hierboven genoemde benaderingen.
De regel van de Descartes-borden geeft je niet de oplossing, maar je kunt wel voorspellen hoeveel echte en unieke oplossingen er zijn. Volg deze stappen om te achterhalen of u alle mogelijke oplossingen hebt gevonden:
Bestel de polynoom van de hoogste naar de laagste graad:
${ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -2x ^ {2} + x + 1}$ .
Negeer de voorwaarden en schrijf alleen hun tekens (positief of negatief):
+--++
Tel het aantal keren dat de tekens zijn gewijzigd van + naar - of omgekeerd, verplaats van links naar rechts:
De volgorde + - ++ verandert twee keer van teken.
Het aantal echte oplossingen is ofwel gelijk aan dat aantal of gelijk aan dat aantal minus 2n, waar n is een geheel getal
In dit voorbeeld kunnen er 2 oplossingen zijn of kan er 0 zijn.
In een ander hypothetisch probleem waarbij de termen van teken veranderen zeven keer, zou het aantal oplossingen 7, 5, 3 of 1 kunnen zijn.

waarschuwingen

Als je een denkbeeldige root krijgt (en je werkt met een probleem waarbij imaginaire wortels in rekening worden gebracht), vergeet dan niet dat er een nul in dat getal en zijn geconjugeerde zal zijn. Ja "(x - 3i) "het is een wortel, het is ook" (x + 3i) ".

Meer weergeven ... (4)

Delen op sociale netwerken:

Verwant