Hoe kwadratische vergelijkingen op te lossen

Een kwadratische (of tweede graad) vergelijking is een veeltermvergelijking eenvoudige variant waarbij maximale vermogen van de variabele 2. Er zijn drie manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen: 1) ontbinden vergelijking (indien mogelijk), 2 ) gebruik de kwadratische formule, of 3) vul het vierkant in. Als je deze drie methoden wilt leren beheersen, moet je gewoon de volgende stappen volgen.

Inhoud

Stappen
Methode 1
Methode 2
Methode 3
Tips

stappen

Methode 1

Factor de vergelijking

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 1

Combineer alle vergelijkbare termen en transponeer ze naar één kant van de vergelijking. De eerste stap om een vergelijking te factoriseren, is alle termen naar één kant van de vergelijking te transporteren, waarbij de term positief blijft

{ displaystyle x ^ {2}}

. Als u de voorwaarden wilt combineren, voegt u alle termen toe of verwijdert u ze

{ displaystyle x ^ {2}}

, de voorwaarden

{ displaystyle x}

, en de constanten (hele termen), die ze naar de ene kant van de vergelijking brengen totdat er niets meer aan de andere kant is. Zodra de resterende voorwaarden opraken, schrijft u gewoon `0` aan die kant van het gelijkteken (=). Hier is hoe je het zou moeten doen:

${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x2}$
${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
${ displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 2

Factor de uitdrukking. Om de uitdrukking te factoriseren, moet u de termfactoren gebruiken

{ displaystyle x ^ {2}}

(3) en de constante term factoren (-4) om te vermenigvuldigen en dan toe te voegen aan de middelste termijn (-11). Hier is hoe je het zou moeten doen:

gezien het feit dat

{ displaystyle 3x ^ {2}}

het heeft alleen een aantal mogelijke factoren,

{ displaystyle 3x}

{ displaystyle x}

Je kunt ze tussen haakjes plaatsen:

{ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}

Voer vervolgens een verwijderingsproces uit om de factoren van 4 te vervangen en een combinatie te vinden die, wanneer vermenigvuldigd, resulteert in "-11x". Je kunt de combinaties: 4 en 1, of 2 en 2 gebruiken, omdat beide resultaten bij 4 vermenigvuldigd worden. Onthoud alleen dat een van de termen negatief moet zijn, omdat de term -4 is.

Voer verschillende tests uit, begin met deze combinatie van factoren:

{ displaystyle (3x + 1) (x-4)}

.. Als je ze vermenigvuldigt, krijg je:

{ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x-4}

. Als je de voorwaarden combineert

{ displaystyle -12x}

{ displaystyle x}

, het geeft je

{ displaystyle -11x}

, wat de gemiddelde term is waarnaar we op zoek zijn. Hiermee hebt u de vergelijking net in rekening gebracht.

Probeer als voorbeeld van een test een factoringcombinatie te bekijken voor

{ displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}

maak er een fout van (werkt niet):

{ displaystyle (3x-2) (x + 2)}

{ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}

. Als u deze voorwaarden combineert, krijgt u:

{ displaystyle 3x ^ {2} -4x-4}

. Hoewel we de factoren -2 en 2 vermenigvuldigen, krijgen we -4, de middellange termijn werkt niet omdat we die moesten verkrijgen

{ displaystyle -11x}

, en niet

{ displaystyle -4x}

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 3

Pas elke set tussen haakjes aan nul toe als afzonderlijke vergelijkingen. Daarbij vindt u twee waarden voor

{ displaystyle x}

dat maakt de hele vergelijking gelijk aan nul

{ displaystyle (3x + 1) (x-4)}

= 0. Nu de vergelijking wordt ontbonden, u hoeft te doen is de uitdrukking tussen haakjes in elke set gelijk aan nul. Maar waarom? Omdat we het "principe, regel of eigenschap" voor nul te vermenigvuldigen met een factor nul moet zijn, dan is ten minste één van de factoren die tussen haakjes, als

{ displaystyle (3x + 1) (x-4)}

moet nul- (3x + 1) zijn of goed (x - 4) moet gelijk zijn aan nul. Daarom is het geschreven

{ displaystyle 3x + 1 = 0}

en ook

{ displaystyle x-4 = 0}

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 4

Los elke "nul" -vergelijking onafhankelijk op. In een tweedegraadsvergelijking zijn er twee mogelijke waarden voor "x". Zoek x voor elke mogelijke waarde van x één voor één door de variabele te isoleren en schrijf beide waarden voor x als de uiteindelijke oplossing. Hier is hoe je het zou moeten doen:

Los 3x + 1 = 0 = op

3x = -1 ... aftrekkend

3x / 3 = -1/3 ... delen

x = -1/3 ... vereenvoudigd

Los x - 4 = 0 op

x = 4 aftrekking

x = (-1/3, 4) ... het maken van een reeks mogelijke, afzonderlijke oplossingen, dwz x = -1/3, of x = 4 lijkt in orde.

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 5

Controleer x = -1/3 inch (3x + 1) (x - 4) = 0:

Jij hebt het (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)? =? 0 ..... substitueren (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... vereenvoudigen (0) (- 4 1/3) = 0 ..... vermenigvuldigen dan 0 = 0 ..... Ja, x = -1/3 werken.

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 6

Controleer x = 4 inch (3x + 1) (x - 4) = 0:

Heeft u (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... substitueren (13) (4 - 4)? =? 0 ..... vereenvoudigen (13) (0) = 0 ..... vermenigvuldigen met 0 = 0 ..... Ja, x = 4 werkt

Daarom worden beide oplossingen afzonderlijk "gecontroleerd" en controleren ze dat beide werken en dat ze correct zijn voor twee verschillende oplossingen.

Methode 2

Gebruik de kwadratische formule

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 7

Combineer alle vergelijkbare termen en transponeer ze naar één kant van de vergelijking. Transporteert alle termen naar één kant van het gelijkteken (=), waarbij de term positief blijft

{ displaystyle x ^ {2}}

. Schrijf de termen in aflopende volgorde van graden, zodat de term "

{ displaystyle x ^ {2}}

eerst komen, gevolgd door de term "x" en de constante term. Hier is hoe je het zou moeten doen:

4x - 5x - 13 = x -5
4x - x - 5x - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 8

Schrijf de kwadratische formule. De kwadratische formule is de volgende:

{ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 9

Identificeer de waarden van "a", "b" en "c" in de tweedegraadsvergelijking. De variabele "een "is de coëfficiënt van de term" x ", de"b "is de coëfficiënt van de term" x ", en de"c "is de constante. Voor de vergelijking: 3x -5x - 8 = 0, a = 3, b = -5, en c = -8. Schrijf dit allemaal

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 10

Vervang de waarden van "a", "b" en "c" in de vergelijking. Nu u de waarden van de drie variabelen heeft, vervangt u ze als volgt in de vergelijking:

{-b +/- √ (b - 4ac)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 11

Maak uw berekeningen. Nadat u de nummers hebt vervangen, voert u de resterende berekeningen uit om de positieve of negatieve tekens te vereenvoudigen. Vermenigvuldig of verklein de resterende termen. Hier is hoe je het zou moeten doen:

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

{5 +/- √ (25 + 96)} / 6

{5 +/- √ (121)} / 6

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 12

Vereenvoudig de vierkantswortel. Als het getal onder het radicale symbool een perfect vierkant is, krijgt u een geheel getal. Als dat niet zo is, vereenvoudig het dan in zijn eenvoudigste radicale versie. Als het negatief is, en je bent zeker dat het negatief moet zijn, dan zullen de wortels complex zijn. Voor het volgende voorbeeld: √ (121) = 11, kunt u schrijven: x = (5 +/- 11) / 6.

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 13

Zoek twee antwoorden Als u het symbool voor de vierkantswortel hebt geëlimineerd, kunt u doorgaan totdat u beide waarden (positief en negatief) voor "x" vindt. Nu dat u: (5 +/- 11) / 6 hebt, kunt u twee opties schrijven:

(5 + 11) / 6

(5 - 11) / 6

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 14

Krijg beide antwoorden (één positief en één negatief). Voer eenvoudig de volgende berekeningen uit:

(5 + 11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6/6

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 15

Vereenvoudigt. Om elk antwoord te vereenvoudigen, deelt u ze simpelweg door het grootste getal dat beide getallen evenredig verdeelt. Deel de eerste breuk door 2 en deel de tweede door 6 zodat je de waarden krijgt voor "x".

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

Methode 3

Voltooi het vierkant

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 16

Draag alle termen aan één kant van de vergelijking. Zorg ervoor dat de term "een "of" x "is positief. Hier is hoe je het zou moeten doen:
2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0
In deze vergelijking, de term "
een "is 2, de term"b "is -12, en de term"c "is -9.

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 17

Draag de term "c "of constant aan de andere kant. De constante term is de numerieke term zonder een variabele. Transponeer het naar de rechterkant van de vergelijking:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 18

Verdeel beide zijden door de coëfficiënt van de term "een "of" x ". Als `x` geen forward-term heeft, heeft deze eenvoudigweg een coëfficiënt van 1, dus u kunt deze stap overslaan. In dit geval moet u alle termen met 2 delen, op de volgende manier:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

x - 6x = 9/2

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 19

Verdeel "b "tussen twee, til het op aan het vierkant en voeg het resultaat aan beide kanten toe. De term "b "in dit voorbeeld is -6. Hier is hoe je het zou moeten doen:

-6/2 = -3 =

(-3) = 9 =

x - 6x + 9 = 9/2 + 9

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 20

Vereenvoudig beide kanten. Bepaal de termen aan de linkerkant zodat je krijgt: (x-3) (x-3) of (x-3). Voeg de termen aan de rechterkant toe zodat je krijgt: 9/2 + 9 of 9/2 + 18/2, wat overeenkomt met 27/2.

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 21

Vind de vierkantswortel aan beide kanten. De vierkantswortel van (x-3) is eenvoudig (x-3). U kunt de vierkantswortel van 27/2 schrijven als: ± √ (27/2). Daarom: x - 3 = ± √ (27/2).

Titel afbeelding Solve Quadratic Equations Step 22

Vereenvoudig de radicaal en vind de waarde van "x". Om ± √ (27/2) te vereenvoudigen, zoekt u naar een perfect vierkant binnen de nummers 27 en 2 of naar hun factoren. De perfect vierkant 9 tussen 27 omdat: 9 x 3 = 27. Neem het nummer 9 en schrijft nummer 3 (vierkantswortel) buiten het wortelteken. Laat het nummer 3 in de teller van de breuk onder wortelteken, de factor 27 kan niet worden verwijderd, en laat het nummer twee aan de onderzijde. Converteer vervolgens de constante 3 aan de linkerkant van de vergelijking naar de rechterkant en schrijf beide waarden voor "x":

x = 3 + (3√6) / 2

x = 3 - (3√6) / 2

tips

Zoals je kunt zien, is het radicale teken niet volledig verdwenen. Daarom kunnen de termen in de teller niet worden gecombineerd (omdat ze geen vergelijkbare termen zijn). Dan is er geen reden om het +/- teken te splitsen. In plaats daarvan verdelen we het in gemeenschappelijke factoren, maar ALLEEN als de factor gebruikelijk is voor beide constanten en voor de radicale coëfficiënt.
Als het getal onder de vierkantswortel geen perfect vierkant is, verschillen de laatste stappen een beetje. Bijvoorbeeld:
Als de term "b" een even getal is, zou de formule de volgende zijn: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.

Delen op sociale netwerken:

Verwant