Hoe de kansen van verschillende dobbelstenen te berekenen

Veel mensen geloven dat als je drie zeszijdige dobbelstenen gooit er dezelfde kans is dat de som drie is en dat het tien is. Dit is echter niet het geval en in dit artikel wordt uitgelegd hoe u het gemiddelde en de standaarddeviatie van een reeks dobbelstenen kunt berekenen.

Leer de terminologie van dobbelstenen mechanica. Gewoonlijk is de gebruikte dobbelstenen van de variëteit die zes zijden heeft, maar het is ook gebruikelijk om bepaalde variëteiten d2 (munten) d4 (piramides 3 zijden), d8 (octaëder), d10 (decahedron), d12 vinden ( dodecaëder) en d20 (icosaëder). Een reeks dobbelstenen gebruikt het volgende formaat: (aantal dobbelstenen) (afgekort als die-ID), dus 2d6 zou een set van twee zeszijdige dobbelstenen zijn. In dit artikel gaan sommige formules ervan uit n = aantal identieke dobbelstenen en r = aantal zijden van elke dobbelsteen, genummerd van 1 tot r, en k is de combinatiewaarde. Er zijn verschillende methoden om de waarschijnlijkheid van elke som te berekenen.

stappen

2

Maak een lijst van alle manieren waarop u dat bedrag kunt krijgen. Dit kan vervelend zijn voor een groot aantal dobbelstenen, maar het is een redelijk eenvoudige methode. Dit komt overeen met het vinden van alle combinaties van k, gedeeld door n exacte combinaties en geen van hen groter dan r. Een voorbeeld met n = 5, r = 6 en k = 12 wordt in de afbeelding getoond. Om ervoor te zorgen de telling is uitputtend en, op hetzelfde moment dat een combinatie herhaaldelijk verschijnt, worden de combinaties voorgesteld in lexicografische volgorde en in elke combinatie dobbelstenen worden in oplopende volgorde gesorteerd.

3

Niet alle combinaties van de lijst in de vorige stap hebben dezelfde kansen. Schrijf ze daarom op in een lijst en tel ze niet gewoon mee. Een kleinere 3 weergegeven voorbeeld de combinatie 123 omvat 6 mogelijkheden (123, 132, 213, 231, 312, 321) terwijl de combinatie 114 omvat drie (114, 141, 411) en 222 slechts één mogelijkheid. Gebruik de multinomiale formule om het aantal manieren te berekenen om de cijfers in elke combinatie om te wisselen. Deze informatie is te vinden in de tabel in het vorige gedeelte.

4

Voeg het totale aantal manieren toe om het gewenste nummer te krijgen.

5

Deel door het totale aantal resultaten. Omdat elke dobbelsteen mogelijke zijden heeft - dit is eenvoudigweg gedaan als r.

2

Gebruik in de kolom met 2 dobbelstenen de formule die in de afbeelding wordt weergegeven. Dit geeft aan dat de kans dat 2 dobbelstenen optellen tot elke waarde k gelijk is aan de som van de hieronder getoonde gebeurtenissen. Voor zeer lage of zeer hoge k-waarden kunnen sommige of alle termen nul blijken te zijn, maar de formule is geldig voor alle waarden van k.

3

Op dezelfde manier, voor drie dobbelstenen of meer, wordt dezelfde formule gebruikt met behulp van de waarschijnlijkheden, nu bekend, van de sommen verkregen met een dobbelsteen minus. De formule die in stap twee is ingevoerd, kan dus ook worden voltooid onder en over totdat de tabel zoveel informatie bevat als nodig is.

4

Het werkblad toont de berekening voor het "aantal formulieren" en niet de "waarschijnlijkheid", maar de conversie ertussen is eenvoudig: waarschijnlijkheid = aantal vormen / r ^ n waarbij r het aantal zijden van elke dobbelsteen is en n het aantal dobbelstenen. U kunt ook de spreadsheet wijzigen om de waarschijnlijkheid direct te berekenen.

2

Vergroot dit polynoom tot het n-de vermogen om de genererende functie te verkrijgen voor de som die met dobbelsteen is verkregen. Dit betekent berekenen (1 / r) (x + x + x). Als n ongeveer groter is dan 2, dan is het handig om dit op een computer te doen.

3

In computationele termen is dit equivalent aan de vorige methode, maar soms is het gemakkelijker om theoretische resultaten af ​​te leiden met behulp van een genererende functie. Zo start twee standaard dobbelstenen zes zijden dezelfde verdeling van de hoeveelheden die een bepaalde wier gezicht geschreven getallen (1, 2, 2, 3, 3, 4) en een gegeven getallen (1, 3 , 4, 5, 6, 8). Dit is omdat (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x) = (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x)

2

Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie op basis van de hoeveelheid en het type dobbelstenen. Rekening houdend met n dobbelstenen genummerd van 1 tot r, worden de formules die hieronder verschijnen gebruikt.

3

Gebruik de normale verdeling met het gemiddelde en de standaarddeviatie die in de afbeelding wordt weergegeven als een benadering van de som van de dobbelstenen.