emkiset.ru

Hoe te bepalen of een oneindige reeks convergent is

Infinite-series kunnen overweldigend en gecompliceerd zijn omdat ze moeilijk te visualiseren zijn. Het is heel moeilijk om te zien met een eenvoudige inspectie of een reeks convergent is of niet - een paar eeuwen geleden zou het uren van testen hebben gekost om een ​​enkele vraag op te lossen. Maar nu, dankzij briljante wiskundigen, hebben we convergentiecriteria om te bepalen of een serie convergeert of niet, wat erg praktisch is. Deze tests worden gebruikt om te bepalen of een reeks convergent of divergent is, niet om de som te berekenen. Zorg ervoor dat je ook een behoorlijke kennis van de berekening hebt.

stappen

Titel afbeelding Determine Of een Infinite Series Converges Step 1
1
Voer de eerste basistest uit. Er is een duidelijke stelling dat indien de som naar oneindig van een functie convergeert dan de limiet van de functie f 0. Stel dat we de x ^ 2- functie is niet beperkt, zodat het totaal aan Infinity divergeert. In de functie 1 / x is de limiet echter 0, dus we moeten doorgaan. Als de limiet niet gelijk is aan nul, dan weten we meteen dat de reeks afwijkend is. NB: Het omgekeerde is niet waar: als de limiet nul is, betekent dit niet dat de serie is convergent. We zullen meer tests moeten doen.
  • Titel afbeelding Determine Of een Infinite Series Converges Step 2
    2


    Zoeken naar geometrische reeksen. Dit is een zeer duidelijke en gemakkelijk te vinden stelling, dus je moet er altijd naar zoeken. Een geometrische reeks is een oneindige som, waarbij de formule r ^ k, waarbij k varieert en r groter is dan 1 en kleiner dan 1. De meetkundige reeks altijd convergeren. Bovendien kunt u zelfs de som van de reeks berekenen met formule 1 / (1-r).
  • Titel afbeelding Write a Christmas Play Step 4
    3



    Zoeken naar p-series. De p-series zijn sommaties van functies met de vorm 1 / (x ^ p), waarbij x een willekeurig getal is. De stelling dat wanneer p groter is dan een, dan de serie uniforme en wanneer p kleiner dan of gelijk aan één is, dan is de reeks divergent. Dit betekent dat in ons eerste voorbeeld 1 / x divergeert, zoals 1 / (x ^ 1), en in dit geval p = 1. Dit wordt harmonische reeks genoemd. 1 / (X ^ 2) convergeert omdat 2 groter is dan 1.
  • 4
    Wat te doen als geen van de bovenstaande tests werkt. Als een test niet doorslaggevend is of niet ter zake doet, probeer dan een andere test, zoals de convergentiecriteria. Het is niet altijd duidelijk wat eerst moet worden geprobeerd - de praktijk zal je betere beslissingen laten maken, maar er is geen vaste methode om te bepalen welke criteria je moet kiezen.
  • Direct vergelijkingscriterium ("vergelijkingstest"). Laten we aannemen dat je twee sets positieve termen hebt: a (n) en b (n). Vervolgens, i) wanneer de oneindige som van b (n) convergeert en (n) kleiner is dan b (n) (een voldoende grote n), dan is de som van a (n) convergeert ook. ii) Als b (n) afwijkt en een (n)>b (n), dan a (ook) divergeert. Voorbeeld, stel dat we de serie 2 / x hebben - we kunnen dit vergelijken met 1 / x. Omdat we al weten dat 1 / x divergent is, en omdat 2 / x > 1 / x, hieruit volgt dat 2 / x ook divergeert. Dus, de basismethode is om een ​​bekende reeks te gebruiken om te bepalen of de onbekende reeks convergent of divergent is.
    Titel afbeelding Determine Of een Infinite Series Stap 4Bullet1 convergeert
  • Criterium van stapsgewijze vergelijking tot de limiet van het quotiënt ("limietvergelijkingstest"). If (n) en b (n) een reeks positieve algemene beperken a (n) / b (n) bestaat en groter dan 0, dan beide reeksen convergeren of divergeren beide reeksen. Nogmaals, dat vereist het gebruik van een bekende serie. De methode in het algemeen het kiezen van een tweede reeks, waarvan de grootste kracht is gelijk aan de hoogste macht van de serie werd aan ons gegeven. Bijvoorbeeld, als we gezien het aantal 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), dan is het redelijk in vergelijking met 1 / (x ^ 3).
    Titel afbeelding Determine Of een Infinite Series Stap 4Bullet2 convergeert
  • Criterium van de integraal van Cauchy ("integrale test"). Neem aan dat een functie positief, continu en afnemend is voor een x groter dan of gelijk aan één. De oneindige reeks f (n) is dus convergerende als: de integraal van 1 tot oneindig van f (x) bestaat; aan de andere kant, zal deze divergent zijn als de integraal niet bestaat. Dus eigenlijk, het integreert de functie en berekent de limiet tot oneindig. Als het bestaat, is de reeks convergerende - als ze niet bestaan, is de reeks verschillend.
    Titel afbeelding Determine Of een Infinite Series Converges Step 4Bullet3
  • Criterium van Leibniz ("alternerende serietest"). Als a (k)>a (k + 1)>0 tot een waarde voldoende groot k, en de grens van een (n) 0 is, de wisselreeks (-1) ^ n tot (n) is convergent. Zei makkelijker, als u een afwisselende serie (een serie waar elke term verandert van teken), dan verwijdert de afwisselende deel van de functie en berekent de grens van wat er overblijft. Als de limiet bestaat, is de reeks convergent.
  • Criteria van d`Alembert, criterium van het quotiënt of criterium van de ratio ("verhoudingsproef"). Gegeven een oneindige reeks a (n), moet u (n + 1) vinden, de algemene term voor de volgende term in de reeks. Bereken vervolgens een (n + 1) / a (n), gebruik indien nodig een continuïteitsmodule. Bereken de limiet van een (n + 1) / a (n) - als de limiet bestaat, kan deze u een van de drie dingen vertellen. 1) Als de limiet kleiner is dan één, dan is de reeks convergent. 2) Als de limiet groter is dan één, dan is de reeks afwijkend. 3) Als de limiet gelijk is aan één, dan is de test niet sluitend en kan niets worden vastgesteld over de convergentie van de reeks.
  • Dit zijn de belangrijkste convergentiecriteria en zijn buitengewoon nuttig. Als geen van deze werkt, is het zeer waarschijnlijk dat het probleem onoplosbaar is of dat u een fout hebt gemaakt. Deze criteria kunnen worden toegepast op meer dingen zoals power-series, Taylor-series en vele anderen. Het is erg handig om deze criteria te kennen, omdat er echt geen eenvoudiger manier is om te bepalen of er convergentie is of niet.
  • tips

    • Controleer altijd de limiet en zoek naar geometrische reeksen of p-series voordat u een vergelijkingscriterium gebruikt. Dit kan u veel tijd en moeite besparen.

    waarschuwingen

    • Gebruik de calculator niet voor alle problemen.
    Delen op sociale netwerken:

    Verwant
    Hoe een oneindige watervoorziening in Minecraft te creërenHoe een oneindige watervoorziening in Minecraft te creëren
    Hoe een functie te roepen in Visual BasicHoe een functie te roepen in Visual Basic
    Hoe beide hersenhelften te ontwikkelenHoe beide hersenhelften te ontwikkelen
    Hoe Pi te berekenenHoe Pi te berekenen
    Hoe het statistische bereik te berekenenHoe het statistische bereik te berekenen
    Hoe het gemiddelde te berekenenHoe het gemiddelde te berekenen
    Hoe de Fibonacci-reeks te berekenenHoe de Fibonacci-reeks te berekenen
    Hoe de Fourier-transformatie van een functie te berekenenHoe de Fourier-transformatie van een functie te berekenen
    Hoe een afbeelding te tekenenHoe een afbeelding te tekenen
    Hoe het domein van een functie te vindenHoe het domein van een functie te vinden
    » » Hoe te bepalen of een oneindige reeks convergent is
    © 2021 emkiset.ru