Hoe logaritmen te verdelen

Hoewel logaritmen moeilijk te gebruiken lijken, is het gewoon een kwestie van de juiste technieken leren, zoals het geval is met exponenten of polynomen. Om twee logaritmen te verdelen die dezelfde basis hebben of een logaritme uit te vouwen die een quotiënt bevat, zou u slechts een paar basiseigenschappen moeten kennen.

Inhoud

Stappen

Methode 1logaritmen splitsen met de hand
Methode 2werk met de logaritme van een quotiënt

stappen

Methode 1
Logaritmen splitsen met de hand

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 1

Controleer om te zien of er negatieve getallen en enen zijn. Met deze methode worden problemen aangepakt die de vorm hebben

{ displaystyle { frac { log_ {b} (x)} { log_ {b} (a)}}}

,hoewel er bepaalde speciale gevallen zijn waarin dit niet werkt:

De logaritme van een negatief getal is ongedefinieerd in alle basen (zoals ${ displaystyle log (-3)}$ of ${ displaystyle log _ {4} (- 5)}$ ). In dit geval moet u schrijven "er is geen oplossing".
De logaritme van nul is ook niet gedefinieerd in alle basen. Als je een term tegenkomt zoals ${ displaystyle ln (0)}$ ,je moet ook schrijven "er is geen oplossing".
De logaritme van 1 op elke basis ( ${ displaystyle log (1)}$ ) is altijd gelijk aan nul. Dit komt omdat ${ displaystyle x ^ {0} = 1}$ voor alle waarden van x. Vervang in plaats van de onderstaande methode deze logaritme door 1.
Als twee logaritmen verschillende grondslagen hebben, zoals in het geval van ${ displaystyle { frac {log_ {3} (x)} {log_ {4} (a)}}}$ ,en geen ervan kan worden vereenvoudigd tot een heel getal is verkregen, het probleem kan niet met de hand worden opgelost.

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 2

Converteer de expressie naar een logaritme. Nu kunt u het probleem vereenvoudigen tot u een enkele logaritme krijgt (aangenomen dat u geen van de hierboven genoemde uitzonderingen toepast). Gebruik hiervoor de formule

{ displaystyle { frac { log_ {b} (x)} { log_ {b} (a)}} = log_ {a} (x)}

Voorbeeld 1: oplossen

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}}}

.
Om te beginnen, converteer het naar een enkele logaritme met behulp van de vorige formule:

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {2} (16)}

Dit is de formule voor "basis verandering" dat wordt verkregen uit de fundamentele logaritmische eigenschappen.

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 3

Voer de berekening indien mogelijk handmatig uit. Vergeet niet dat je de uitdrukking moet overwegen "

{ displaystyle a ^ {?} = x}

" of "Welke exponent kan ik verhogen? een te verkrijgen x?" kunnen oplossen ${ displaystyle log _ {a} (x)}$ .Houd er rekening mee dat dit niet altijd kan worden opgelost zonder een rekenmachine te gebruiken, maar hopelijk krijgt u mogelijk een logaritme dat gemakkelijk kan worden vereenvoudigd.

Voorbeeld 1 (vervolg): Herschrijven

{ displaystyle log 2 (16)}

als

{ displaystyle 2 ^ {?} = 16}

.Het antwoord op het probleem is de waarde van "?" maar misschien moet je de trial and error toepassen om het te vinden:

{ displaystyle 2 ^ {2} = 2 * 2 = 4}

{ displaystyle 2 ^ {3} = 4 * 2 = 8}

{ displaystyle 2 ^ {4} = 8 * 2 = 16}

Het antwoord dat je zocht was 16, dus

{ displaystyle log 2 (16)}

= 4.

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 4

Laat het antwoord achter in de vorm van een logaritme als je het niet kunt vereenvoudigen. Het is heel moeilijk om sommige logaritmen met de hand op te lossen, dus als u het antwoord voor praktische doeleinden nodig heeft, moet u misschien een rekenmachine gebruiken. Aan de andere kant, als je het probleem voor een wiskundelessen gaat oplossen, is de kans groot dat de leraar verwacht dat het antwoord in de vorm van een logaritme zal zijn. Dit is een ander voorbeeld van het toepassen van deze methode op een moeilijker probleem:

Voorbeeld 2: hoeveel is dat

{ displaystyle { frac { log_ {3} (58)} { log_ {3} (7)}}}

Converteer het naar een enkele logaritme:

{ displaystyle { frac { log_ {3} (58)} { log_ {3} (7)}} = log_ {7} (58)}

.(Merk op dat, in elke initiële logaritme, de ₃ verdwijnt, wat ook geldt voor alle bases).

Herschrijf het als

{ displaystyle 7 ^ {?} = 58}

en probeer een aantal mogelijke waarden voor "?":

{ displaystyle 7 ^ {2} = 7 * 7 = 49}

{ displaystyle 7 ^ {3} = 49 * 7 = 343}

De 58 staat tussen beide nummers, dus geen van de antwoorden van

{ displaystyle log _ {7} (58)}

Het zal een heel getal zijn.

Laat het antwoord als volgt

{ displaystyle log _ {7} (58)}

Methode 2
Werk met de logaritme van een quotiënt

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 5

Het begint met een delingprobleem binnen een logaritme. In deze sectie leert u hoe u problemen met uitdrukkingen in het formulier kunt oplossen

{ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}})}

Begin bijvoorbeeld met het volgende probleem:
"Zoek de waarde van n ja ${ displaystyle log_ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- log_ {3} (6)}$ ".

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 6

Controleer om te zien of er negatieve cijfers zijn. De logaritme van een negatief getal is niet gedefinieerd, dus indien x of en het zijn negatieve getallen, je moet bevestigen dat het probleem een oplossing heeft voordat je verder kunt gaan.

als X of en het is een negatief getal, het probleem zal geen oplossing hebben.

als beide zijn negatieve cijfers, gebruik de eigenschap ${ displaystyle { frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}}$ om de tekenen te elimineren.

Het voorbeeldprobleem bevat geen logaritmen van negatieve getallen, dus u kunt doorgaan naar de volgende stap.

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 7

Vouw het quotiënt uit totdat je twee logaritmen krijgt. De formule

{ Displaystyle _ log {a} ({ frac {x} {y}}) = _ log {a} (x) - _ log {a} (y)}

beschrijft een nuttige eigenschap van de logaritmische, waarin staat dat de logaritme van een verhouding die gelijk is aan de logaritme altijd teller minus de logaritme van de noemer.

Gebruik deze formule om de linkerkant van het probleem uit te vouwen:

{ Displaystyle _ log {3} ({ frac {27}}} {6n) = _ log {3} (27) - _ log {3} (6n)}

Vervang het resultaat in de originele vergelijking:

{ displaystyle log_ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- log_ {3} (6)}

→

{ displaystyle log_ {3} (27) - log_ {3} (6n) = - 6 log_ {3} {6}}

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 8

Vereenvoudig de logaritmen als je kunt. Als het antwoord van een van de nieuwe logaritmen in de uitdrukking een geheel getal is, kunt u deze in deze stap vereenvoudigen.

In het probleem van het voorbeeld is er een nieuwe term:

{ displaystyle log _ {3} (27)}

.3 = 27, dus u kunt vereenvoudigen

{ displaystyle log _ {3} (27)}

totdat je krijgt 3.

Nu is de complete vergelijking als volgt:

{ displaystyle 3- log_ {3} (6n) = - 6- log_ {3}}

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 9

Isoleer de variabele. Het is handig om de term die de variabele bevat aan de ene kant van de vergelijking te isoleren, net zoals bij elk algebraprobleem. Versimpel waar mogelijk de vergelijking door vergelijkbare termen te combineren.

{ displaystyle 3- log_ {3} (6n) = - 6- log_ {3}}

{ displaystyle 9- log_ {3} (6n) = - log 3 (6)}

{ displaystyle log_ {3} (6n) = 9 + log 3 (6)}

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 10

Gebruik zo nodig de aanvullende eigenschappen van de logaritmen. Als u de variabele van de andere termen binnen dezelfde logaritme wilt isoleren, kunt u dit doen herschrijf de term met andere logaritmische eigenschappen.

In het probleem van het voorbeeld, n zit nog steeds in de val ${ displaystyle log_ {3} (6n)}$ .
Gebruik de eigenschap van het product van de logaritmen om te isoleren n: ${ displaystyle log_ {a} (bc) = log_ {a} (b) + log {a} (c)}$
${ displaystyle log_ {3} (6n) = log_ {3} (6) + log_ {3} (n)}$

Vervang het resultaat in de complete vergelijking:

{ displaystyle log_ {3} (6n) = 9 + log 3 (6)}

{ displaystyle log_ {3} (6) + log_ {3} (n) = 9 + log_ {3} (6)}

Titel afbeelding Divide Logarithms Step 11

Blijf vereenvoudigen totdat u de oplossing krijgt. Los het probleem op door dezelfde algebraïsche en logaritmische technieken opnieuw te gebruiken. Als de oplossing voor het probleem geen geheel getal is, rond naar het dichtstbijzijnde significante cijfer met een rekenmachine.