Hoe absolute waarde vergelijkingen op te lossen

Elke vergelijking die een uitdrukking van absolute waarde bevat, is een "absolute-waardevergelijking". De absolute waarde van een variabele $X$

Inhoud

Stappen
Deel 1
Deel 2
Deel 3
Tips

{ displaystyle x}, het wordt uitgedrukt als

X

en het is altijd een positieve waarde, behalve de 0 die noch positief noch negatief is. Een absolute-waardevergelijking wordt opgelost met dezelfde regels als elke andere algebraïsche vergelijking. Dit type vergelijking heeft echter twee potentiële resultaten, afgeleid van een positieve vergelijking en een negatieve vergelijking.

stappen

Deel 1

Stel het probleem op

Titel afbeelding Solve Absolute Value Equations Step 1

Begrijp de wiskundige definitie van absolute waarde. De definitie stelt dat vast

{ displaystyle | p | = { begin {cases} p { text {if}} p geq 0 - p { text {if}} p<0 end {cases}}}

. Wat deze formule betekent, is dat als het nummer

{ displaystyle p}

is positief, de absolute waarde ervan is eenvoudig

{ displaystyle p}

. Als het nummer

{ displaystyle p}

is negatief, dan is de absolute waarde het tegenovergestelde van

{ displaystyle p}

, of

{ displaystyle -p}

. Als twee negatieve tekens worden omgezet in een positieve, is de absolute waarde van

{ displaystyle -p}

Het zal daarom altijd positief zijn.

Bijvoorbeeld: | 9 | = 9- | -9 | = - (- 9) = 9.

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 2

Begrijp wat een absolute waarde vertegenwoordigt. De absolute waarde van een getal geeft aan hoe ver vanaf 0 er een getal op een getallenlijn staat. De absolute waarde wordt weergegeven door de term (of de termen) tussen twee rechte staven te plaatsen (

X

). De absolute waarde van een getal is altijd positief.

Bijvoorbeeld

displaystyle

displaystyle

. Zowel de -3 als de 3 zijn 3 nummers verwijderd van 0.

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 3

Isoleer de term (of termen) van de absolute waarde van uw vergelijking. Absolute waarden moeten allemaal aan dezelfde kant van de vergelijking staan. Elk getal dat niet binnen de symbolen met de absolute waarde valt, moet naar de andere kant van de vergelijking worden verplaatst. Houd er rekening mee dat een absolute waarde nooit gelijk kan zijn aan een negatief getal. Dus als na het isoleren van de absolute waarde aan de andere kant van de vergelijking er een negatief getal is, betekent dit dat de vergelijking geen oplossing biedt.

Bijvoorbeeld, als de vergelijking is

6x-2

, trek dan de drie getallen af van beide zijden van de vergelijking om de uitdrukking te isoleren van de absolute waarde:

6x-2

displaystyle

6x-2

Deel 2

Bereken de waarden

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 4

Stel de vergelijking om de positieve waarde te krijgen. Een vergelijking met uitdrukkingen van absolute waarde heeft altijd twee mogelijke oplossingen. Als u de vergelijking wilt opgeven die resulteert in een positief getal, verwijdert u eenvoudigweg de balken met de absolute waarde en lost u de vergelijking op zoals u dat normaal zou doen.

Bijvoorbeeld de positieve vergelijking voor de uitdrukking $displaystyle$ dit is ${ displaystyle 6x-2 = 4}$ .

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 5

Los de positieve vergelijking op. Gebruik hiervoor algebraïsche bewerkingen en bereken de waarde van de variabele. Dus je krijgt de eerste mogelijke oplossing van die vergelijking:

Bijvoorbeeld:

{ displaystyle 6x-2 = 4}

{ displaystyle 6x-2 + 2 = 4 + 2}

{ displaystyle 6x = 6}

{ displaystyle { frac {6x} {6}} = { frac {6} {6}}}

{ displaystyle x = 1}

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 6

Stel de vergelijking om de negatieve waarde te verkrijgen. Als u de negatieve vergelijking wilt opgeven, herschrijft u de uitdrukking zonder de balk met absolute waarden te gebruiken en plaatst u de negatieve waarde van het getal aan de andere kant van de vergelijking.

Bijvoorbeeld de negatieve vergelijking voor de uitdrukking

6x-2

dit is

{ displaystyle 6x-2 = -4}

Titel afbeelding Solve Absolute Value Equations Step 7

Los de negatieve vergelijking op. Om dit te doen, gebruikt u algebraïsche bewerkingen zoals u elke andere vergelijking zou doen. Het resultaat is de tweede mogelijke oplossing voor de vergelijking.

Bijvoorbeeld:

{ displaystyle 6x-2 = -4}

{ displaystyle 6x-2 + 2 = -4 + 2}

{ displaystyle 6x = -2}

{ displaystyle { frac {6x} {6}} = { frac {-2} {6}}}

{ displaystyle x = { frac {-1} {3}}}

Deel 3

Controleer of het resultaat correct is

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 8

Controleer het resultaat van de positieve vergelijking. Om te controleren of de oplossing van een vergelijking correct is, moet u altijd de mogelijke oplossingen in de variabelen van de oorspronkelijke vergelijking vervangen. Om het resultaat van de positieve vergelijking te controleren, vervangt u de

{ displaystyle x}

van de oorspronkelijke absolute-waardevergelijking voor de waarde die u behaalde als resultaat van het oplossen van de positieve vergelijking. Als beide zijden gelijk zijn, dan is de oplossing correct.

Bijvoorbeeld als de oplossing voor de positieve vergelijking was ${ displaystyle x = 1}$ , vervangt ${ displaystyle 1}$ in de originele vergelijking en los op:
$displaystyle$
$6 (1) -2$
$displaystyle$
$4$

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 9

Controleer het resultaat van de negatieve vergelijking. Alleen omdat een oplossing juist is, wil nog niet zeggen dat de andere ook klopt. Om te controleren of de tweede oplossing ook correct is, moet u nu de oplossing van de negatieve vergelijking in de oorspronkelijke vergelijking vervangen.

Bijvoorbeeld als de oplossing voor de negatieve vergelijking was

{ displaystyle x = { frac {-1} {3}}}

, vervangt

{ displaystyle { frac {-1} {3}}}

in de originele vergelijking en los op:

= 4

{ displaystyle | 6 ({ frac {-1} {3}}) - 2 | = 4}

= 4

= 4

Afbeelding met de titel Solve Absolute Value Equations Step 10

Noteer de twee geldige oplossingen. Een oplossing is geldig als deze, na deze te hebben vervangen in de oorspronkelijke vergelijking, resulteert in een echte expressie. De vergelijking kan twee geldige oplossingen hebben, maar deze kan er ook maar één of geen hebben.

Bijvoorbeeld, gezien dat