Hoe radicale uitdrukkingen te vereenvoudigen

Een radicale expressie is een algebraïsche uitdrukking met een vierkantswortel (kubiek of groter). Over het algemeen kunnen deze uitdrukkingen hetzelfde aantal beschrijven, zelfs als ze er heel anders uitzien (bijv.

Inhoud

Stappen
Methode 1
Methode 2
Methode 3
Methode 4
Methode 5
Methode 6
Tips

12-1{ displaystyle { frac {1} {{sqrt {2}} - 1}}} =

{ displaystyle { sqrt {2}} + 1}

). De oplossing is om een geprefereerde "canonieke vorm" voor deze uitdrukkingen te definiëren. Als twee uitdrukkingen met een canonieke vorm er nog steeds anders uitzien, zijn ze echt anders. Wiskundigen zijn het erover eens dat de canonieke vorm voor radicale uitdrukkingen de volgende regels moet respecteren:

vermijd fracties in de radicalen
gebruik geen fractionele exponenten
vermijd radicalen in de noemers
vermenigvuldig niet twee radicalen met elkaar
hebben alleen vrije voorwaarden binnen de radicalen

Een praktisch gebruik van deze uitdrukkingen zijn meerkeuzenexamens. Als u een probleem op te lossen, maar het antwoord komt niet overeen met een van de meerdere opties, probeer te vereenvoudigen in canonieke vorm. Omdat examenschrijvers gewoonlijk de antwoorden op deze manier plaatsen, doe hetzelfde met het uwe. In de vrije respons testen, instructies zoals "Vereenvoudig uw antwoord" of "vereenvoudigt alles radicaal" betekent dat het noodzakelijk deze stappen uit te voeren is tot het antwoord voldoet aan de hiervoor genoemde canonieke vorm. heeft ook een aantal nut bij het oplossen van vergelijkingen, hoewel sommige zijn makkelijker op te lossen via een niet-canonieke vorm.

stappen

Herzie indien nodig de regels betreffende het beheer van radicalen en exponenten (Ze zijn hetzelfde, omdat radicalen fractionele krachten zijn), omdat de meeste van hen nodig zullen zijn voor dit proces. Het herziet ook de regels voor de manipulatie en vereenvoudiging van polynomiale uitdrukkingen en rationeel, Mogelijk bent u tijdens het hele vereenvoudigingsproces ook nodig.

Methode 1

Perfecte krachten

Vereenvoudig radicale expressies die perfecte vierkanten zijn. Een perfect vierkant is het product van elk getal dat zich vermenigvuldigt, zoals in het geval van 81, wat het resultaat is van 9 x 9 vermenigvuldigen. Als je een perfect vierkant binnen een radicaal wilt vereenvoudigen, verwijder dan gewoon het radicale teken en schrijf het getal dat de vierkantswortel van het perfecte vierkant vertegenwoordigt.

121 is bijvoorbeeld een perfect vierkant omdat 11 x 11 121 is. Daarom kunt u de uitdrukking vereenvoudigen ${ displaystyle { sqrt {121}}}$ tot 11, waardoor het symbool van de vierkantswortel wordt geëlimineerd.
Indien u deze gemakkelijker te maken, onthoudt de eerste twaalf perfecte vierkanten 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36 , 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

Vereenvoudig radicale uitdrukkingen die perfecte kubussen zijn. Een perfecte kubus is het product van elke getal vermenigvuldigd met x naar, zoals bij 27, die het gevolg is van 3 x 3 x 3. Als u een groep expressie vergemakkelijken wanneer een perfecte kubus op een teken derdemachtswortel, verwijdert alleen het teken van de radicale en schrijft het getal dat de vierkantswortel van de perfecte kubus.

343 is bijvoorbeeld een perfecte kubus omdat het het resultaat is van het vermenigvuldigen van 7 x 7 x 7. Daarom is de kubuswortel van de perfecte kubus eenvoudigweg 7.

Methode 2

Converteer rationele exponenten naar radicalen

Je kunt de conversie ook in de tegenovergestelde richting maken als je dat wilt (soms zijn er goede redenen om dit te doen), maar combineer geen termen zoals ${ displaystyle { sqrt {5}} + 5 ^ { frac {3} {2}}}$ in dezelfde uitdrukking. In dit geval gaan we ervan uit dat je besluit te kiezen voor een radicale notatie en de uitdrukking gebruikt ${ displaystyle { sqrt {n}}}$ om de vierkantswortel van n en aan te geven ${ displaystyle { sqrt [{3}] {n}}}$ voor kubische wortels.

Zoek alle fractionele exponenten en converteer ze naar hun radicale equivalenten met behulp van de volgende formule ${ displaystyle x ^ { frac {a} {b}} = { sqrt [{b}] {x}} ^ {a}}$

Als u een breuk in de index van een radicaal hebt, verwijdert u deze ook. Bijvoorbeeld ${ displaystyle { sqrt [{ frac {2} {3}}] {4}}}$ = ${ displaystyle ({ sqrt {4}}) ^ {3}}$ = ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8

Converteer de negatieve exponenten naar hun equivalente breuk met behulp van de volgende formule ${ displaystyle x ^ {- y} = { frac {1} {x ^ {y}}}}$

Dit geldt alleen voor constante rationale exponenten. Als je termen hebt zoals

{ displaystyle 2 ^ {x}}

, raak ze niet aan, zelfs als het probleem impliceert dat "x" fractioneel of negatief kan zijn.

Combineer dezelfde termen en vereenvoudig de rationele expressies die je daardoor krijgt.

Methode 3

Elimineer fracties uit radicalen

Om canonieke vormen vast te stellen, is het nodig om de wortel van een breuk uit te drukken als een wortel van hele getallen.

Controleer de termen binnen elke radicaal om te bepalen of ze fracties bevatten. Als dit het geval is, gaat u naar de volgende stap.

Vervang ze als een relatie van twee radicalen met behulp van de identiteit ${ Displaystyle { sqrt { frac {a} {b}}} = { frac { sqrt {a}} { sqrt {b}}}}$ .

Gebruik de identiteit niet als de noemer negatief is of als het een variabele uitdrukking is die een negatieve waarde kan hebben. In dat geval vereenvoudigt u eerst de breuk.

Vereenvoudig de perfecte vierkanten die je daardoor krijgt. Dit betekent dat u de expressie moet converteren

{ displaystyle { sqrt { frac {5} {4}}}}

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} { sqrt {4}}}}

en vereenvoudig het daarna

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} {2}}}

Maak andere handige vereenvoudigingen, zoals de reductie van samengestelde fracties, de combinatie van vergelijkbare termen, etc.

Methode 4

Combineer radicale producten

Als je een radicale uitdrukking hebt vermenigvuldigd met een andere, combineer ze alsof het een enkele radicaal is met behulp van de volgende eigenschap:

{ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}

. Vervang bijvoorbeeld de volgende uitdrukking

{ displaystyle { sqrt {2}} times { sqrt {6}}}

door

{ displaystyle { sqrt {12}}}

De hierboven genoemde identiteit, ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}$ , het is geldig voor niet-negatieve radicands. Gebruik het niet als ${ displaystyle a}$ en ${ displaystyle b}$ ze zijn negatief, omdat je het volgende onjuiste resultaat zou krijgen: ${ displaystyle { sqrt {-1}} times { sqrt {-1}} = { sqrt {1}}}$ . Per definitie is het element aan de linkerkant gelijk aan -1 (of ongedefinieerd voor het geval u complexe getallen niet wilt herkennen), terwijl de rechter aan de rechterkant gelijk is aan +1. als ${ displaystyle a}$ of ${ displaystyle b}$ is negatief, herstel uw teken eerst met behulp van de volgende formule: ${ displaystyle { sqrt {-5}} = i times { sqrt {5}}}$ . Als de radicand een variabele uitdrukking is waarvan het teken niet bekend is door context en zowel positief als negatief kan zijn, laat het dan zoals het is op het moment. U kunt de meest algemene identiteit gebruiken ${ Displaystyle { sqrt {a}} malen { sqrt {b}} = { sqrt { pm {a}}} malen { sqrt { pm {b}}} malen { sqrt} }$ , die geldig is voor alle echte nummers ${ displaystyle a}$ en ${ displaystyle b}$ , maar het is over het algemeen de extra complexiteit van het introduceren van de functie van het teken niet waard.
Deze identiteit is alleen van toepassing als de radicalen dezelfde index hebben. Je kunt meer algemene radicalen vermenigvuldigen zoals ${ displaystyle { sqrt {5}} times { sqrt [{3}] {7}}}$ door ze eerst uit te drukken met een gemeenschappelijke index. Om dit te doen, zet je de wortels tijdelijk om in fractionele exponenten: ${ Displaystyle { sqrt {5}} malen { sqrt [{3}] {7}} = 5 ^ { frac {1} {2}} tijden 7 ^ { frac {1} {3} } = 5 ^ { frac {3} {6}} tijden 7 ^ { frac {2} {6}} = 125 ^ { frac {1} {6}} maal 49 ^ { frac {1 } {6}}}$ . Pas vervolgens de vermenigvuldigingsregel toe om dit product gelijkwaardig te maken ${ displaystyle { sqrt [{6}] {6125}}}$ .

Methode 5

Pak de vierkante factoren van de radicalen uit

gefactoriseerde een imperfecte radicale uitdrukking in zijn belangrijkste factoren. De factoren zijn de getallen die vermenigvuldigd met een getal maken (bijvoorbeeld, 5 en 4 zijn twee factoren 20). Als u wilt een onvolmaakte radicale uitdrukking te breken, schrijf alle factoren van dat getal (of zoveel als je maar kunt bedenken, als het groot) tot u een die is een perfect vierkant te vinden.

Vermeld bijvoorbeeld alle factoren van het getal 45: 1, 3, 5, 9, 15 en 45. 9 is een factor 45 en het is ook een perfect vierkant ( ${ displaystyle 9 = 3 ^ {2}}$ ): 9 x 5 = 45.

Verwijder alle veelvouden die perfecte vierkanten zijn van het radicale teken. De 9 is een perfect vierkant omdat het het resultaat is van 3 x 3 vermenigvuldigen. Verwijder het van het radicale teken en plaats een 3 aan de voorkant, laat de 5 binnen het radicale teken. Als je de drie binnen het radicale teken plaatst, vermenigvuldigt het zichzelf en geeft het opnieuw 9, wat met 5 vermenigvuldigd zal worden om 45 als resultaat te geven.

{ displaystyle 3 { sqrt {5}}}

het is een vereenvoudigde manier om uit te drukken

{ displaystyle { sqrt {45}}}

daarom

{ Displaystyle { sqrt {45}} = { sqrt {9 x 5}} = { sqrt {9}} malen { sqrt {5} = {3} sqrt {5}}}

Zoek een perfect vierkant in de variabele. De vierkantswortel van

{ displaystyle a ^ {2}}

zou zijn

naar

. Als u weet dat de variabele positief is, kunt u vereenvoudig deze uitdrukking verder alleen als a. De vierkantswortel van ${ displaystyle a ^ {3}}$ kan worden ontbonden in de uitdrukking ${ displaystyle { sqrt {a}} times a}$ . Dit komt omdat exponentommen optellen bij het vermenigvuldigen van variabelen, dus dat ${ displaystyle a ^ {2} times a = a ^ {3}}$ .

Daarom is het perfecte vierkant in de uitdrukking

{ displaystyle a ^ {3}}

dit is

{ displaystyle a ^ {2}}

Het haalt uit het radicale teken alle variabelen die perfecte vierkanten zijn. Pak nu de variabele uit

{ displaystyle a ^ {2}}

van de radicaal om het te veranderen

displaystyle

. De vereenvoudigde vorm van een

{ displaystyle a ^ {3}}

dit is

{ displaystyle | a | { sqrt {a}}}

Combineer alle vergelijkbare termen en vereenvoudig de rationele uitdrukkingen die u als resultaat krijgt.

Methode 6

Rationaliseer de noemer

De canonieke vorm vereist dat, indien mogelijk, de noemer een geheel getal zijn (of een polynoom als het een onbepaald aantal is).

Als de noemer een enkele term is onder een radicaal, zoals ${ displaystyle { frac {[teller]} { sqrt {5}}}}$ , vermenigvuldig de teller en de noemer door genoemde radicaal om als resultaat te verkrijgen ${ displaystyle { frac {[teller] keer { sqrt {5}}} {{ sqrt {5}} times { sqrt {5}}}}}$ = ${ displaystyle { frac {[teller] keer { sqrt {5}}} {5}}}$ .
In het geval van kubieke of grote wortels, vermenigvuldig met de juiste macht van de radicaal om de rationale deler te verkrijgen. Als de noemer was ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}}}$ , vermenigvuldig het genummerde getal en de noemer met ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}} ^ {2}}$ .
Als de noemer bestaat uit een som of aftrekking van vierkantswortels als ${ displaystyle { sqrt {2}} + { sqrt {6}}}$ , vermenigvuldig zowel de teller als de noemer door hun conjugaat, dezelfde uitdrukking met de tegenovergestelde operator. daarom ${ Displaystyle { frac {[teller]} {{ sqrt {2}} + { sqrt {6}}}} = { frac {[teller] keer ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}})} {({ sqrt {2}} + { sqrt {6}}) maal ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}})}}}$ . Gebruik vervolgens, om de noemer te rationaliseren, het verschil in vierkanten [(a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2] en vereenvoudig het resultaat: ${ Displaystyle ({ sqrt {2}} + { sqrt {6}}) maal ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}}) = ({ sqrt {2}}) ^ {2} - ({ sqrt {6}}) ^ {2} = 2-6 = -4}$ .
Dit werkt ook voor noemers ${ displaystyle 5 + { sqrt {3}}}$ omdat elk geheel getal een vierkantswortel is van een ander geheel getal. daarom ${ Displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {3}}}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {(5 + { sqrt {3}}) keren (5 - { sqrt {3}})}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {5 ^ {2} - { sqrt {3 ^ {2}}}}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {25-3}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {22}}}$
Dit werkt voor een som van vierkantswortels zoals ${ displaystyle { sqrt {5}} - { sqrt {6}} + { sqrt {7}}}$ . Als ze gegroepeerd zijn als ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) + { sqrt {7}}}$ en vermenigvuldig met ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) - { sqrt {7}}}$ , het antwoord zal niet rationeel zijn, maar het zal de vorm van de uitdrukking hebben ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , waarin ${ displaystyle a}$ en ${ displaystyle b}$ Ze zijn rationeel. Vervolgens kunt u het proces herhalen met de geconjugeerde van ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , waarin ${ displaystyle (a + b times { sqrt {30}}) times (a-b times { sqrt {30}})}$ Het is een rationeel getal. Kortom, als je deze trick één keer kunt gebruiken om het aantal radicale tekens in de noemer te verminderen, kun je deze trick herhaaldelijk gebruiken om ze volledig te elimineren.
Dit werkt zelfs met noemers die een hogere oorsprong hebben als ${ displaystyle { sqrt [{4}] {3}} + { sqrt [{7}] {9}}}$ . Simpelweg de teller en de noemer vermenigvuldigen met de conjugaat van de noemer. Helaas is het niet helemaal duidelijk wat de conjugaat van die noemer is of hoe deze kan worden gevonden. Een goed boek over de theorie van algebraïsche getallen zal op dit punt nuttig zijn.

Nu heb je de noemer gerationaliseerd, maar de teller staat nog steeds in de war. Nu moet je werken met het element waarmee het proces van rationalisatie van de noemer begon, dat wil zeggen, het complexe conjugaat gevonden in de teller. Begin om het product uitbreiden net zoals je zou doen met een polynomiaal product. Bepaal of iets wordt geannuleerd of vereenvoudigd en combineer, indien mogelijk, dezelfde termen.

Als de noemer een negatief integro is, vermenigvuldig dit en de teller met -1 om het positief te maken.

tips

Er zijn websites die u kunnen helpen een radicale uitdrukking te vereenvoudigen. Het enige wat je hoeft te doen is de vergelijking in het radicale teken schrijven en op Enter drukken om het vereenvoudigde antwoord te geven.
In het geval van eenvoudige problemen, hoeft u niet veel van deze stappen te doen. Voor de meer gecompliceerde, moet u mogelijk sommige van deze stappen meer dan eens toepassen. Maak "eenvoudige" vereenvoudigingen doorlopend terwijl u het probleem oplost en vergelijk uw laatste antwoord met de criteria van de canonieke vorm die in de inleiding wordt genoemd. Als je antwoord canonisch is, betekent dit dat je klaar bent - als dat niet het geval is, zal een van deze stappen je vertellen wat je moet doen om dit te bereiken.
De meeste verwijzingen naar "de canonieke vorm die de voorkeur heeft" voor een radicale expressie omvatten ook complexe getallen ( ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ ). Zelfs als het wordt geschreven als "i" in plaats van een radicaal teken te gebruiken, is het raadzaam het niet in een noemer te schrijven.
Sommige van deze instructies gaan ervan uit dat alle radicalen wortels zijn. De algemene regels zijn hetzelfde voor de wortels van het kubieke of hogere niveau, hoewel sommige ervan (met name de rationalisatie van de noemer) moeilijker toe te passen zijn. U moet ook beslissen of u termen als wilt hebben ${ displaystyle { sqrt [{3}] {4}}}$ of ${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$ .
Sommige van deze instructies gebruiken ten onrechte de term "canonieke vorm", terwijl ze in feite alleen een "normale vorm" beschrijven. Het verschil is dat een canonieke vorm een van de uitdrukkingen zou vereisen ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ of ${ displaystyle { sqrt {2}} + 1}$ , en zou de ander als ongepast bestempelen. Een normale manier veronderstelt dat je capabel genoeg bent om deze vormen te herkennen als "duidelijk gelijke" getallen, zelfs als ze niet op dezelfde manier zijn geschreven. Merk op dat met "voor de hand liggend" we bedoelen het gebruik van alleen rekenkundige eigenschappen (de som is commutatief) in plaats van algebraïsche (bijvoorbeeld, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ het is een niet-negatieve root van ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ ). Ik hoop dat de lezers van dit artikel dit lichte misbruik van terminologie vergeven.
Als deze aanwijzingen lijken dubbelzinnig of tegenstrijdig, past alle consistente en duidelijke en kies vervolgens de manier waarop dat meer lijkt op de manier waarop de radicale uitingen worden gebruikt in de tekst stappen.

Delen op sociale netwerken:

Verwant