Hoe weet ik of een functie even of oneven is?

Er is een manier waarop u functies kunt classificeren als "even", "oneven", termen die verwijzen naar de herhaling of symmetrie van de functie. De beste manier om dit te bepalen, is deze functie algebraïsch te manipuleren, maar je kunt ook de grafiek die deze maakt visualiseren en zien of deze symmetrisch is. Als u eenmaal weet hoe u de classificatie moet uitvoeren, kunt u het uiterlijk van bepaalde combinaties voorspellen

Inhoud

Stappen
Methode 1
Methode 2
Tips
Waarschuwingen

stappen

Methode 1

Test de functie met behulp van algebraïsche methoden

Titel afbeelding Vertel of een functie even of oneven is Stap 1

Controleer de tegenovergestelde variabelen. In de algebra wordt het tegenovergestelde van een variabele geschreven als een negatief. Dit is van toepassing ongeacht of de variabele in de functie is

{ displaystyle x}

of een ander. Als de variabele in de oorspronkelijke functie al als een negatieve waarde (of een aftrekking) wordt weergegeven, is het tegenovergestelde positief (of sum). Hieronder ziet u voorbeelden van enkele variabelen en hun tegenpolen:

Het tegenovergestelde van ${ displaystyle x}$ dit is ${ displaystyle -x}$ .
Het tegenovergestelde van ${ displaystyle q}$ dit is ${ displaystyle -q}$ .
Het tegenovergestelde van ${ displaystyle -w}$ dit is ${ displaystyle w}$ .

Titel afbeelding Vertel of een functie even of oneven is Stap 2

Vervang elke variabele in de functie met het tegenovergestelde. Wijzig de originele functie niet naast het teken van de variabele. Bijvoorbeeld:

{ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}

het wordt

{ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}

{ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}

het wordt

{ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {2} -2 (-x)}

{ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}

het wordt

{ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}

Titel afbeelding Vertel of een functie gelijk of oneven is Stap 3

Vereenvoudig de nieuwe functie. Maak je op dit moment niet druk over het oplossen van de functie om een bepaalde numerieke waarde te vinden. Vereenvoudig eenvoudig de variabelen om de nieuwe functie, f (-x), te vergelijken met het origineel, f (x). Denk aan de basisregels van de exponenten die aangeven dat een negatieve basis verhoogd tot een even vermogen een positieve waarde zal hebben, terwijl een negatieve basis verhoogd tot een oneven vermogen een negatieve waarde zal hebben.

{ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}

{ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}

{ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {2} -2 (-x)}

{ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ 5) + 2x}

{ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}

{ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}

{ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}

Titel afbeelding Vertel of een functie even of oneven is Stap 4

Vergelijk de twee functies. Probeer in elk voorbeeld de vereenvoudigde versie van f (-x) te vergelijken met de originele f (x). Breng de voorwaarden op één lijn om vergelijking te vergemakkelijken, en vergelijk ook de tekens van al deze overeenkomsten.

Als de twee resultaten gelijk zijn, dan is f (x) = f (-x) en is de oorspronkelijke functie even. Bijvoorbeeld:

{ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}

{ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}

Deze twee functies zijn gelijk - daarom is de functie even.

Als elke term in de nieuwe versie van de functie het tegenovergestelde is van de overeenkomstige term van het origineel, dan is f (x) = - f (-x) en is de functie oneven. Bijvoorbeeld:

{ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}

maar

{ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}

Merk op dat als u elke term van de eerste functie met -1 vermenigvuldigt, u de tweede functie aanmaakt. Daarom is de oorspronkelijke functie g (x) oneven.

Als de nieuwe functie niet overeenkomt met een van deze twee voorbeelden, is deze niet eens en evenmin vreemd. Bijvoorbeeld:

{ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}

maar

{ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}

. De eerste term is hetzelfde en elke functie, maar de tweede is een tegenovergestelde. Daarom is deze zalving niet eens noch vreemd.

Methode 2

Test de functie met behulp van een grafiek

Titel afbeelding Vertel of een functie even of oneven is Stap 5

Grafiek van de functie. Gebruik een ruitjespapier of een grafische rekenmachine en maak de grafiek van de functie. Kies verschillende numerieke waarden voor

{ displaystyle x}

en voer ze in de functie in om de waarde van te berekenen

{ displaystyle and}

verkregen. Markeer deze punten en voeg ze toe nadat u ze hebt gemarkeerd om de grafiek van de functie te bekijken.

Door de punten te markeren, controleert u de bijbehorende positieve en negatieve waarden van ${ displaystyle x}$ . Bijvoorbeeld als u de functie gebruikt ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ , je moet de volgende waarden markeren:
${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$ . Dit levert het punt op ${ displaystyle (1,3)}$ .
${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$ . Dit levert het punt op ${ displaystyle (2,9)}$ .
${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$ . Dit levert het punt op ${ displaystyle (-1,3)}$ .
${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$ . Dit levert het punt op ${ displaystyle (-2,9)}$ .

Titel afbeelding Vertel of een functie even of oneven is Stap 6

Test de symmetrie op de "y" -as. Wanneer u naar een functie kijkt, zal de symmetrie een gereflecteerd beeld voorstellen. Als u ziet dat het deel van de grafiek aan de rechterkant (positieve) kant van de "y" -as overeenkomt met het deel van de grafiek aan de linker (negatieve) kant van die as, dan is de grafiek symmetrisch langs de "y" -as. Als een functie symmetrisch is langs de "y" -as, is de functie even.

U kunt de symmetrie testen door de afzonderlijke punten te selecteren. Als de waarde van "y" voor elke geselecteerde "x" gelijk is aan de waarde van "y" voor -x, is de functie even. De eerder gekozen punten om de functie te markeren

{ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}

gaf de volgende resultaten:

(1,3) en (-1,3)

(2.9) en (-2.9)

De bijbehorende waarden van "y" voor x = 1 en x = -1, en voor x = 2 en x = -2 geven aan dat het een even-functie is. In een concreet geval is het selecteren van twee punten niet genoeg bewijs, maar het is een goede indicator.

Titel afbeelding Vertel of een functie even of oneven is Stap 7

Test de oorsprongsymmetrie. De oorsprong is het centrale punt (0,0). De oorsprongsymmetrie betekent dat een positief resultaat voor een geselecteerde "x" -waarde overeenkomt met een negatief resultaat voor -x, en omgekeerd. Oneven functies tonen bronsymmetrie.

Als u enkele voorbeeldwaarden voor "x" en de bijbehorende tegengestelde waarden voor -x selecteert, moet u tegenovergestelde resultaten krijgen. De volgende functie:

{ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}

geeft de volgende punten:

{ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}

. Het punt is (1,2).

{ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) = - 1-1 = -2}

. Het punt is (-1, -2).

{ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}

. Het punt is (2,10).

{ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) = - 8-2 = -10}

. Het punt is (-2, -10).

Daarom is f (x) = - f (-x) en je kunt concluderen dat de functie oneven is.

Titel afbeelding Vertel of een functie even of oneven is Stap 8

Zoek een asymmetrie. Het laatste voorbeeld is een functie die geen side-by-side symmetrie heeft. Als u naar de grafiek kijkt, ziet u een afbeelding niet weergegeven langs de "y" -as of rond de oorsprong. In dit geval zullen we de volgende functie gebruiken:

{ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}

We zullen enkele waarden voor x en -x kiezen op de volgende manier:

{ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}

. Het te markeren punt is (1,4).

{ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {2} +2 (-1) + (- 1) = 1-2-1 = -2}

. Het te markeren punt is (-1, -2).

{ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}

. Het te markeren punt is (2,10).

{ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {2} +2 (-2) + (- 2) = 4-4-2 = -2}

. Het te markeren punt is (2, -2).

Deze punten moeten voldoende zijn om een asymmetrie aan te geven. De waarden van "en" voor de tegenovergestelde paren van de waarden van "x" zijn niet hetzelfde en ook niet tegenovergesteld. De functie is niet even of vreemd.

Je kunt herkennen dat deze functie,

{ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}

, Het kan als volgt worden herschreven:

{ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}

. Op deze manier geschreven, zal het eruit zien als een even functie omdat er maar één exponent is, die een even getal is. Dit voorbeeld illustreert echter dat het niet mogelijk is om te bepalen of een functie even of oneven is wanneer deze in een vorm met haakjes is geschreven. Je moet het uitbreiden naar individuele termen en vervolgens de exponenten bekijken.

tips

Als in een andere functie een variabele altijd verschijnt met even exponenten, dan is deze functie even. Als alle exponenten oneven zijn, is de algemene functie oneven.