Hoe buigpunten vinden

Bij differentiële calculus is een buigpunt een punt op een curve waarin de kromming van teken verandert (van minder naar meer of van meer naar minder). Dit wordt gebruikt in verschillende disciplines, zoals techniek, economieën en statistieken, om fundamentele wijzigingen in de gegevens te bepalen. Als u de keerpunten van een curve wilt vinden, gaat u door naar stap 1.

Inhoud

Stappen

Deel 1begrijp de keerpunten
Deel 2zoek de afgeleiden van een functie
Deel 3vind een keerpunt

Tips

stappen

Deel 1
Begrijp de keerpunten

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 1

Begrijp de concave functies. Om de buigpunten te begrijpen, moet u onderscheid kunnen maken tussen concave functies en convexe functies. Een concave functie is een functie waarbij een lijn die twee verschillende punten verbindt nooit over de grafiek zal gaan.

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 2

Begrijp de convexe functies. Een convexe functie is in wezen het tegenovergestelde van een concave functie: het is een functie waarbij elke lijn die twee verschillende punten met elkaar verbindt nooit onder de grafiek zal passeren.

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 3

Begrijpt de wortels van een functie. De basis van een functie is het punt waarop de functie gelijk is aan nul.

Als u een functie wilt tekenen, zijn de wortels de punten waarop de functie de X-as kruist.

Deel 2
Zoek de afgeleiden van een functie

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 4

Zoek de eerste afgeleide van uw functie. Voordat u een keerpunt kunt vinden, moet u de derivaten van uw functie vinden. Derivaten van basisfuncties zijn te vinden in elk rekenboek - u moet dit leren voordat u doorgaat naar meer complexe taken. De eerste afgeleiden worden geschreven als f `(x). Voor polynomiale uitdrukkingen van de vorm axp + bx (p-1) + cx + d is de eerste afgeleide apx (p-1) + b (p - 1) x (p-2) + c.

Stel dat u bijvoorbeeld het buigpunt voor de functie f (x) = x3 + 2x-1 moet vinden. Bereken de eerste afgeleide van die functie op de volgende manier:

f `(x) = (x3 + 2x - 1)` = (x3) `+ (2x)` - (1) `= 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 5

Zoek de tweede afgeleide van uw functie. De tweede afgeleide is de afgeleide van de eerste afgeleide van de functie en wordt geschreven als f `` (x).

In het vorige voorbeeld moet u bij het berekenen van de tweede afgeleide van de functie het volgende verkrijgen:

f `` (x) = (3x2 + 2) `= 2 × 3 × x + 0 = 6x

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 6

Gelijk aan de tweede afgeleide tot nul. Egaliseer uw tweede afgeleide tot nul en los de resulterende vergelijking op. Het antwoord dat u krijgt zal een mogelijk keerpunt zijn.

In het vorige voorbeeld ziet uw berekening er als volgt uit:

f `` (x) = 0
6x = 0
x = 0

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 7

Zoek de derde afgeleide van uw functie. Om te controleren of uw antwoord echt een keerpunt is, zoekt u naar de derde afgeleide die wordt berekend door de eerste afgeleide toe te passen op de tweede afgeleide van de functie en aangeduid als f `` `(x).

In het vorige voorbeeld ziet uw berekening er als volgt uit:

f `` `(x) = (6x)` = 6

Deel 3
Vind een keerpunt

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 8

Evalueer uw derde afgeleide. De standaardregel voor het evalueren van een mogelijk buigpunt is: "Als de derde afgeleide niet gelijk is aan nul, f `` `(x) = / 0, is het mogelijke buigpunt echt een keerpunt". Controleer uw derde afgeleide. Als het niet gelijk is aan nul, is het een echt keerpunt.

In het vorige voorbeeld bleek de derde afgeleide 6 te zijn, niet 0. Daarom is het een echt keerpunt.

Titel afbeelding Find Inflection Points Step 9

Zoek het punt van verbuiging. De coördinaat van het buigpunt wordt aangeduid met (x, f (x)), waarbij x de waarde is van de variabele op het buigpunt en f (x) de waarde van de functie op het buigpunt.

In het vorige voorbeeld moet u onthouden dat toen u de tweede afgeleide berekende, u x = 0 hebt gevonden. Daarom moet u f (0) vinden om de coördinaten te bepalen. Uw berekening ziet er als volgt uit:

f (0) = 03 + 2 × 0-1 = -1.