Hoe derivaten te berekenen

Derivaten kunnen worden gebruikt om veel nuttige functies in een grafiek te verkrijgen, zoals maxima, minima, hellingen, enz. Je kunt ze gebruiken om gecompliceerde vergelijkingen te plotten. Helaas is het verkrijgen van de afgiften erg vervelend, maar dit artikel zal u enkele tips en trucs vertellen die u kunnen helpen.

Inhoud

Stappen
Methode 1
Methode 2
Methode 3
Methode 4
Tips
Waarschuwingen

stappen

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 1

Begrijp wat de notatie van het derivaat is.

De Leibniz-notatie is de meest voorkomende waarbij de vergelijking betrekking heeft op `y` en `x`. dy / dx betekent "de afgeleide van y met betrekking tot `x`". Het kan handig zijn om dit te zien als Δy / Δx voor de waarden van `x` en `y` die oneindig veel van elkaar verschillen. Deze uitleg leent zich voor de definitie van de limiet van een derivaat: lim_{h-> 0} (f (x + h) -f (x)) / h. Als u deze notatie voor een tweede afgeleide gebruikt, moet u schrijven: dy / dx.
Lagrange-notatie De afgeleide van een functie wordt ook geschreven als f `(x). Deze notatie wordt uitgesproken als "f bonus van x". Deze notatie is korter dan die van Leibniz en is handig als we de afgeleide als een functie zien. Om derivaten van hoge orde te vormen, voegt u gewoon een andere "`" toe aan "f", zodat de tweede afgeleide is f` `(x).

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 2

Begrijpen wat een derivaat is en waarvoor het wordt gebruikt. Allereerst, om de helling van een lijngrafiek te vinden, neem je twee punten van de lijn en worden hun coördinaten in de vergelijking (en₂ - en₁) / (x₂ - X₁). Dit kan echter alleen worden gebruikt met lijngrafieken. Voor kwadratische en hoger gerangschikte vergelijkingen, zal de lijn gebogen zijn, dus het "verschil" van twee punten nemen zal niet nauwkeurig zijn. De helling van een tangens van een gebogen grafiek kunnen vinden: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx betekent "delta x", wat het verschil is tussen twee coördinaten van x van de twee punten in de grafiek. Merk op dat deze vergelijking hetzelfde is als (en₂ - en₁) / (x₂ - X₁), alleen op een andere manier. Omdat we weten dat het resultaat verkeerd zal zijn, moeten we een indirecte aanpak volgen. Om de helling van de tangens in (x, f (x)) te kunnen vinden, moet dx 0 benaderen, zodat de twee punten die worden genomen, samenkomen in een enkel punt. Je kunt echter niet delen door 0, dus nadat je de waarden van de twee punten hebt gezet, moet je factor en andere methoden gebruiken om dx te annuleren aan de onderkant van de vergelijking. Zodra je dat hebt gedaan, zet je dx op 0 en los je op. Dit is de helling van de tangens in (x, f (x)). Het afgeleide van een vergelijking is de generieke vergelijking om de helling van een raaklijn van een grafiek te vinden. Dit lijkt misschien heel ingewikkeld, maar hier zijn enkele voorbeelden die kunnen verduidelijken hoe het derivaat te verkrijgen.

Methode 1

Expliciete differentiatie

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 3

Gebruik expliciete differentiatie als je `en` aan één kant hebt.

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 4

Zet de vergelijking in de vergelijking [f (x + dx) - f (x)] / dx. Als de vergelijking bijvoorbeeld y = x is, is de afgeleide [(x + dx) - x] / dx.

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 5

Expand en factor dx om de vergelijking [dx (2x + dx)] / dx te vormen. Nu kun je de twee dx`s bovenaan en onderaan annuleren. Het resultaat is 2x + dx en wanneer dx de 0 nadert, is het derivaat 2x. Dit betekent dat de helling van elke tangens van de grafiek y = x 2x is. Plaats gewoon de waarde van x op het punt waar u de helling wilt vinden.

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 6

Leer de patronen om het derivaat te verkrijgen voor vergelijkbare vergelijkingen. Hieronder zijn enkele voorbeelden:

Het derivaat van een willekeurig vermogen is het vermogen met de waarde van het vermogen minus 1. Het derivaat van x is bijvoorbeeld 5x en het derivaat van x is 3,5x. Als er al een getal tegenover x staat, vermenigvuldig dit dan met het vermogen. De afgeleide van 3x is bijvoorbeeld 12x.

Het derivaat van een constante is nul. Dus de afgeleide van 8 is 0.

Het derivaat van een som is de som van zijn individuele derivaten. De afgeleide van x + 3x is bijvoorbeeld 3x + 6x.

Het derivaat van een product is de eerste factor door het derivaat van de tweede factor plus de tweede factor door de afgeleide van de eerste factor. De afgeleide van x (2x + 1) is bijvoorbeeld x (2) + (2x + 1) 3x, wat gelijk is aan 8x + 3x.

De afgeleide van een quotiënt (zeg, f / g) is [g (afgeleid van f) - f (afgeleid van g)] / g. De afgeleide van (x + 2x - 21) / (x - 3) is bijvoorbeeld (x - 6x + 15) / (x - 3).

Methode 2

Impliciete differentiatie

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 7

Gebruik een impliciete differentiatie wanneer de vergelijking niet gemakkelijk met `y` aan één kant kan worden geschreven. Zelfs als je `en` aan één kant zou schrijven, zou het berekenen van dy / dx vervelend zijn. Hieronder volgen enkele voorbeelden van het oplossen van dit soort vergelijkingen.

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 8

In dit voorbeeld, xy + 2y = 3x + 2y, vervang je y door f (x), dus je zult onthouden dat `y` de functie is. De vergelijking wordt xf (x) + 2 [f (x)] = 3x + 2f (x).

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 9

Om de afgeleide van deze vergelijking te vinden, moet u de afgeleide van beide zijden van de vergelijking vinden met betrekking tot x. De vergelijking wordt dan xf `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] f` (x) = 3 + 2f `(x).

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 10

Vervang f (x) door `y` opnieuw. Pas op dat u niet hetzelfde doet met f `(x), wat verschilt van f (x).

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 11

Los op voor f `(x). Het antwoord van dit voorbeeld zou er als volgt uitzien: (3 - 2xy) / (x + 6y - 2).

Methode 3

Major Order Derivatives

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 12

Om het derivaat van orde groter dan een functie te berekenen, wordt het derivaat van het derivaat berekend (in de orde van 2). Als u bijvoorbeeld wordt gevraagd om het derdeorderderivaat te berekenen, hoeft u alleen maar het derivaat van het derivaat van het derivaat te berekenen. Voor sommige vergelijkingen bereikt de afgeleide van hogere orde 0.

Methode 4

De regel van de keten

Titel afbeelding Take Derivatives in Calculus Step 13

Wanneer `y` een functie is die is afgeleid van `y`, en `z` een functie is die is afgeleid van `z`, en `z` een functie is die is afgeleid van `x` en de afgeleide van `y` met betrekking tot ` x `(dy / dx) is (dy / du) * (du / dx). De kettingregel kan ook vergelijkingen maken, zoals deze: (2x - x). Om de afgeleide te vinden, moet u gewoon denken aan de productregel. Vermenigvuldig de vergelijking met de macht en verlaag het vermogen met 1. Verplaats vervolgens de vergelijking met de afgeleide van de binnenkant van de macht (in dit geval 2x ^ 4 - x). Het antwoord op dit probleem is 3 (2x - x) (8x - 1).

tips

U moet uw rekenmachine goed kennen - probeer verschillende functies van uw rekenmachine om de toepassingen ervan te leren kennen. Het is vooral handig om te weten hoe de tangens en afgeleide functie van uw rekenmachine te gebruiken.
De afgeleide van `yz` (waarbij `y` en `z` functies zijn) is niet eenvoudigweg 1, omdat `y` en `z` afzonderlijke functies zijn. Gebruik de productregel: yz = y (1) + z (1) = y + z.
Oefen de productregel, de quotiëntregel, de kettingregel en vooral de impliciete differentiatie, aangezien u de moeilijkste berekening bent.
Onthoud basisgoniometrische afgeleiden en hoe deze te manipuleren.
Als je een groot probleem ziet, maak je geen zorgen. Probeer het gewoon in kleine stukjes te scheiden door de regels toe te passen. Probeer vervolgens de afgeleide van die onderdelen afzonderlijk te berekenen.

waarschuwingen

Vergeet niet dat het minteken tegenover f staat (afgeleid van g) wanneer u de quotiëntregel gebruikt - dit is een veel voorkomende fout die ervoor kan zorgen dat u het hele probleem verkeerd krijgt.

Delen op sociale netwerken:

Verwant