Hoe een impliciete differentiatie te maken

In de berekening, wanneer je een vergelijking hebt voor en geschreven in termen van

Inhoud

Stappen

Methode 1differ eenvoudige vergelijkingen snel
Methode 2gebruik geavanceerde technieken

Waarschuwingen

x (als y = x -3x), is het eenvoudig om basale differentiatietechnieken te gebruiken (wat wiskundigen kennen als "expliciete differentiatietechnieken") om het derivaat te vinden. In het geval van vergelijkingen die moeilijk herschikt kunnen worden door slechts één zijde van het gelijkteken (zoals x + y - 5x + 8y + 2xy = 19) te plaatsen, is een andere methode nodig. Met behulp van een techniek die impliciete differentiatie wordt genoemd, zal het gemakkelijk zijn om de afgeleiden van vergelijkingen met meerdere variabelen te vinden, zolang je de basisconcepten van de expliciete differentiatie!

stappen

Methode 1
Differ eenvoudige vergelijkingen snel

Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 1

Verschillen de voorwaarden x zoals altijd. Wanneer u probeert een vergelijking van meerdere variabelen zoals x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 te onderscheiden, kan het moeilijk zijn om te weten waar te beginnen. Gelukkig is de eerste stap van impliciete differentiatie de eenvoudigste. Om te beginnen, differentieer eenvoudig de termen met x en de constanten aan beide zijden van de vergelijking volgens de regels van reguliere differentiatie (expliciet). Voorlopig negeer je de voorwaarden met en.
Laten we proberen de vorige eenvoudige vergelijking te onderscheiden. De vergelijking x + y - 5x + 8y + 2xy = 19 heeft twee termen met
x: x en -5x. Als we de vergelijking willen differentiëren, zullen we ze eerst op de volgende manier moeten oplossen:
x + y - 5x + 8y + 2xy = 19
Zet de exponent "2" in x neer om deze als een coëfficiënt te plaatsen, verwijder de
x bij -5x en verander 19 keer 0)
2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 2

Verschillen met de voorwaarden met en en plaats "(dy / dx)" naast elkaar. In de volgende stap, eenvoudig de voorwaarden met differentiëren en op dezelfde manier deed je het met de voorwaarden van x. Voeg deze keer echter toe "(dy / dx)" naast elk op dezelfde manier zou je een coëfficiënt toevoegen. Bijvoorbeeld, als y verschillen, wordt het 2y (dy / dx). Negeer voorlopig de termen die zowel x als y bevatten.

In ons huidige voorbeeld ziet de vergelijking er als volgt uit: 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0. We zullen deze stap van differentiatie van en als volgt uitvoeren:

2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0

Zet de exponent "2" erin en plaats deze als een coëfficiënt, verwijder de en in 8j en plaats een "dy / dx" naast elke.

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 3

Gebruik de productregel of de quotiëntregel voor termen met zowel x als y. Oplossen van termen met x en y is a beetje ingewikkeld, maar als u de regel van het product kent en het quotiënt voor differentiatie, zult u geen probleem hebben. Als u de termen x en y vermenigvuldigt, gebruikt u de productregel ((f × g) `= f` × g + g × f `), ter vervanging van de term x door f en de term en voor g. Aan de andere kant, als de termen x en y onderling verdeeld zijn, gebruik dan de quotiëntregel ((f / g) `= (g × f` - g `× f) / g), waarbij de term in de teller wordt vervangen door f en de term in de noemer met g.

In ons voorbeeld, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0, hebben we slechts één term die zowel x als en, wat is 2xy. gezien het feit dat x e en vermenigvuldig elkaar, we moeten de productregel gebruiken om ze als volgt te onderscheiden:
2xy = (2x) (y) - plaats 2x = f en y = g in (f × g) `= f` × g + g × f `
(f × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `
(f × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))
(f × g) `= 2y + 4xy (dy / dx)

Door het terug te voegen aan onze hoofdvergelijking, zullen we het krijgen 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 4

Isoleer (dy / dx). Je bent bijna klaar! Nu hoef je alleen maar de vergelijking voor (dy / dx) op te lossen. Het lijkt moeilijk, maar over het algemeen wordt niet in gedachten gehouden dat de twee termen a en b die worden vermenigvuldigd met (dy / dx) kunnen worden geschreven als (a + b) (dy / dx) grcias naar de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging. Deze tactiek kan het gemakkelijk maken om te isoleren (dy / dx) - zet gewoon alle andere termen aan de tegenovergestelde kant van de haakjes en verdeel ze dan tussen de termen die tussen haakjes staan naast (dy / dx).

In ons voorbeeld kunnen we 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0 als volgt vereenvoudigen:

2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0

(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y - 2x + 5

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)

(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Methode 2
Gebruik geavanceerde technieken

Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 5

Verbind de waarden (x, y) om voor elk punt (dy / dx) te vinden. Gefeliciteerd! Je hebt de vergelijking impliciet gedifferentieerd, wat geen gemakkelijke taak is voor beginners! Het gebruik van deze vergelijking om de helling (dy / dx) voor elk punt (x, y) te vinden, is net zo eenvoudig als het verbinden van de waarden x e en voor het punt aan de rechterkant van de vergelijking en los het op (dy / dx).
Stel dat we de helling op punt (3, -4) willen vinden voor de vorige vergelijking. Om dit te doen, zullen we 3 moeten vervangen
x en -4 door en, als volgt op te lossen:
(dy / dx) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(dy / dx) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 of 0,6875.

Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 6

Gebruik de kettingregel voor functies binnen andere functies. Als het gaat om rekenproblemen (inclusief impliciete differentiatieproblemen), is het erg belangrijk om de kettingregel te kennen. De kettingregel stelt dat voor een functie F (x) die kan worden geschreven als (f of g) (x), de afgeleide van F (x) is gelijk aan f `(g (x)) g` (x). Voor problemen van impliciete differentiatie die grotere moeilijkheid hebben, betekent dit dat het mogelijk is individuele "delen" van de vergelijking te onderscheiden en vervolgens het resultaat samen te stellen.

Als een eenvoudig voorbeeld, stel dat we de afgeleide van zonde (3x + x) moeten vinden als onderdeel van een groter impliciet differentiatieprobleem voor de vergelijking sin (3x + x) + y = 0. Als we zonde beschouwen (3x + x) als "f (x)" en 3x + x als "g (x)", we kunnen de differentiatie op de volgende manier vinden:

f `(g (x)) g` (x)

(sin (3x + x)) `× (3x + x)`

cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Titel afbeelding Do Implicit Differentiation Step 7

Voor vergelijkingen met variabelen x, y, z, find (dz / dx) en (dz / dy). Hoewel dit niet gebruikelijk is in de basisberekening, vereisen sommige geavanceerde toepassingen de impliciete differentiatie van meer dan twee variabelen. Voor elke extra variabele moet u een extra afgeleide vinden met betrekking tot x. Als u bijvoorbeeld werkt met de variabelen x, y, z, moet u (dz / dy) en (dz / dx) vinden. We kunnen het doen door de vergelijking ten opzichte van x twee keer te differentiëren. De eerste keer dat we een (dz / dx) plaatsen, elke keer dat we een term differentiëren met z en de tweede plaatsen we een (dz / dy) elke keer dat we een z differentiëren. Dan zal het een kwestie zijn van het oplossen van (dz / dx) en (dz / dy).

Stel dat we xz - 5xyz = x + y willen onderscheiden.

Laten we eerst de differentiatie met betrekking tot x en plaats (dz / dx) maken. Vergeet niet om de productregel waar van toepassing toe te passen!

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x

(2xz - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz

(dz / dx) = (2x - 3xz + 5yz) / (2xz - 5xy)

Laten we nu hetzelfde doen voor (dz / dy)

xz - 5xyz = x + y

2xz (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y

(2xz - 5xy) (dz / dy) = 3y + 25xyz

(dz / dy) = (3y + 25xyz) / (2xz - 5xy)