Hoe berekening te begrijpen

De berekening is een tak van de wiskunde die zich richt op limieten, functies, afgeleiden, integralen en oneindige reeksen. Dit gebied vormt een belangrijk onderdeel van de wiskunde en vormt de basis van veel van de vergelijkingen die fysica en mechanica beschrijven. Je hebt misschien een klas op college-niveau nodig om de berekening goed te begrijpen, maar dit artikel kan je helpen aan de slag te gaan en alert te zijn op belangrijke concepten en technische perspectieven.

Inhoud

Stappen

Methode 1bekijk de basisconcepten van de berekening
Methode 2begrijp de derivaten
Methode 3begrijp de integralen

Tips

stappen

Methode 1
Bekijk de basisconcepten van de berekening

Titel afbeelding Understand Calculus Step 1

Houd er rekening mee dat berekening de studie is van hoe dingen veranderen. Calculus is een tak van de wiskunde die naar getallen en lijnen kijkt, meestal vanuit de echte wereld, en beschrijft hoe ze veranderen. Hoewel dit in het begin misschien niet zo nuttig lijkt, is de berekening een van de takken van de wiskunde die het meest wordt gebruikt in de wereld. Stel u voor dat u de tools heeft om te onderzoeken hoe snel uw bedrijf op een bepaald moment groeit of om de koers van een ruimtevaartuig in kaart te brengen en hoe snel het brandstof verbruikt. Calculus is een belangrijk hulpmiddel in engineering, economie, statistiek, scheikunde en natuurkunde en heeft bijgedragen aan het creëren van vele uitvindingen en ontdekkingen van de echte wereld.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 2

Onthoud dat functies relaties tussen twee getallen zijn en worden gebruikt om relaties in de echte wereld in kaart te brengen. Functies zijn regels die bepalen hoe getallen met elkaar in verband staan en wiskundigen gebruiken deze om grafieken te maken. In een functie produceert elke ingevoerde waarde een resultaat. Bijvoorbeeld, op y = 2x + 4, elke waarde van "X" geeft je een nieuwe waarde van "en". Als x = 2, dan is y = 8- als x = 10, dan is y = 24. De hele berekeningsstudies werken om te zien hoe ze veranderen, met behulp van functies om relaties in de echte wereld in kaart te brengen.

Functies worden vaak geschreven als f (x) = x + 3. Dit betekent dat je in de functie f (x) altijd 3 optelt bij het nummer dat je invoert voor "X". Als u 2 wilt invoeren, schrijft u f (2) = 2 + 3, of f (2) = 5.

Functies kunnen ook complexe bewegingen in kaart brengen. NASA heeft bijvoorbeeld functies die de snelheid van een raket aangeven op basis van de hoeveelheid brandstof, de windweerstand en het gewicht van het schip.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 3

Denk aan het concept van oneindigheid. Oneindig is wanneer een proces steeds opnieuw wordt herhaald. Het is geen specifieke plaats (je kunt niet naar het oneindige gaan), maar het gedrag van een getal of vergelijking is voor altijd gedaan. Dit is belangrijk om de verandering te bestuderen: misschien wil je weten hoe snel je auto op een bepaald moment beweegt, maar betekent dat wel met welke snelheid was je in die huidige seconde? In die milliseconde? In die nanoseconde? Je zou oneindig kleinere hoeveelheden tijd kunnen vinden om bijzonder precies te zijn en dat is waar de berekening komt.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 4

Begrijp het concept van limieten. Een limiet geeft aan wat er gebeurt als iets bijna oneindig is. Neem het getal 1 en deel het door 2. Ga vervolgens door met het opnieuw te delen door 2. 1 zou worden 1/2, dan 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. Elke keer wordt het aantal meer en meer en kleiner, "naderen" meer naar nul. Maar waar zou het eindigen? Hoe vaak moet je delen door 2 om nul te krijgen? In de berekening, in plaats van deze vraag te beantwoorden, stelt u een limit. In dit geval is de limiet gelijk aan 0.

De limieten zijn gemakkelijker te zien in een grafiek. Het zijn bijvoorbeeld de punten die een grafiek bijna raakt, maar nooit.

De limieten kunnen een getal, niets of zelfs oneindig zijn. Als u bijvoorbeeld voor altijd 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... toevoegt, zou uw definitieve aantal oneindig groot zijn. De limiet zou oneindig zijn.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 5

Bekijk de essentiële wiskundige concepten van algebra, trigonometrie en precalculus. De berekening is gebaseerd op veel van de vormen van wiskunde die je al lang hebt geleerd. Als u deze onderwerpen volledig kent, kunt u de calculus veel gemakkelijker leren en begrijpen. Sommige onderwerpen die u moet bekijken zijn:

algebra: verschillende processen begrijpen en leren om vergelijkingen en vergelijkingssystemen voor meerdere variabelen op te lossen. Begrijp de basisbegrippen van de sets. Meer informatie over het berekenen van vergelijkingen.

Geometrie: geometrie is de studie van vormen. Begrijp de basisconcepten van driehoeken, vierkanten en cirkels, en hoe u zaken als oppervlakte en perimeter kunt berekenen. Het omvat hoeken, lijnen en coördinatenstelsels.

driehoeksmeting: trigonometrie is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de eigenschappen van cirkels en rechthoekige driehoeken. Leer hoe u trigonometrische identiteiten, grafieken, functies en inverse trigonometrische functies kunt gebruiken.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 6

Koop een grafische rekenmachine. De berekening is ongelooflijk moeilijk te begrijpen zonder te zien wat er wordt gedaan. Grafische rekenmachines nemen functies over en maken ze visueel, waardoor u een beter inzicht krijgt in het werk dat u gaat doen. Vaak ziet u limieten op het scherm en worden derivaten en functies automatisch berekend.

Veel smartphones en tablets bieden momenteel goedkope maar effectieve toepassingen om te laten zien of u geen volledige rekenmachine wilt kopen.

Methode 2
Begrijp de derivaten

Titel afbeelding Understand Calculus Step 7

Houd er rekening mee dat de berekening wordt gebruikt om de "onmiddellijke verandering". Weten waarom iets op een exact moment verandert, is de kern van de berekening. De berekening geeft bijvoorbeeld niet alleen de snelheid van een auto aan, maar ook hoeveel die snelheid op een bepaald moment verandert. Dit is een van de eenvoudigste manieren om te rekenen, maar het is ongelooflijk belangrijk. Stel je voor hoe nuttig deze kennis zou zijn voor de snelheid van een ruimtevaartuig dat de maan probeert te bereiken!

Het vinden van de onmiddellijke verandering wordt genoemd "differentiatie". De differentiaalberekening is de eerste van de twee hoofdtakken van de berekening.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 8

Gebruik afgeleiden om te begrijpen hoe dingen ogenblikkelijk veranderen. "afgeleide" Het is een woord dat verfijnd klinkt en angst opwekt. Het concept zelf is echter niet zo moeilijk te begrijpen, het betekent gewoon hoe snel iets verandert. De meest voorkomende derivaten in het dagelijks leven hebben te maken met snelheid. Je noemt hem waarschijnlijk niet de "afgeleid van de snelheid", maar je kunt haar bellen "versnelling".

Versnelling is een afgeleide. Dit geeft aan hoe snel iets de snelheid verhoogt of verlaagt, of hoe het verandert.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 9

Houd er rekening mee dat de snelheid van verandering de helling tussen twee punten is. Dit is een van de belangrijkste bevindingen van de berekening. De snelheid van verandering tussen twee punten is gelijk aan de helling van de lijn die ze verbindt. Denk aan een basislijn, zoals de vergelijking y = 3x. De helling van de lijn is 3, wat betekent dat voor elke nieuwe waarde van "X", "en" wordt vermenigvuldigd met 3. De helling is hetzelfde als de mate van verandering: een helling van 3 betekent dat de lijn met een factor 3 verandert voor elke wijziging in "X". Wanneer x = 2, y = 6- wanneer x = 3, y = 9.

De helling van een lijn is de veranderen in "en" verdeeld tussen de verandering in "X".

Hoe groter de helling, de lijn wordt steiler. Het kan gezegd worden dat steile lijnen zeer snel veranderen.

Bekijk hoe je de helling van een lijn kunt vinden als je het niet goed onthoudt.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 10

Houd er rekening mee dat je de helling van gebogen lijnen kunt vinden. Het vinden van de helling van een rechte lijn is vrij eenvoudig: hoeveel verandert het? "en" voor elke waarde van "X"? Maar complexe vergelijkingen met curven, zoals y = x, zijn veel moeilijker te vinden. U kunt de wisselingssnelheid echter nog steeds vinden tussen twee willekeurige punten. Trek gewoon een lijn tussen de lijnen en bereken de helling om de mate van verandering te vinden.

In y = x kun je bijvoorbeeld twee punten nemen en de helling nemen. Neem (1,1) en (2,4). De helling daartussen zou gelijk zijn aan (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Dit betekent dat de veranderingssnelheid tussen x = 1 en x = 2 2 is.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 11

Maak de punten dichterbij om een nauwkeuriger tempo van verandering te krijgen. Hoe dichter de twee punten zijn, hoe groter de kans dat u een nauwkeurig antwoord krijgt. Laten we zeggen dat je wilt weten hoe snel je auto accelereert, net als je op het gaspedaal drukt. Je moet de snelheidsverandering tussen je huis en de supermarkt niet meten, je moet de snelheidsverandering de tweede meten nadat je op het gaspedaal hebt gedrukt. Hoe dichter uw meting bij dat moment ligt, hoe nauwkeuriger uw meting zal zijn.

Wetenschappers bestuderen bijvoorbeeld de snelheid waarmee sommige soorten uitsterven om te proberen ze te redden. In de winter sterven er echter vaak meer dieren dan in de zomer, dus het tempo van verandering gedurende het jaar bestuderen is niet zo nuttig. Wetenschappers zouden de mate van verandering vinden tussen nauwere punten, zoals van 1 juli tot 1 augustus.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 12

Gebruik oneindig kleine lijnen om het te vinden "direct ritme van verandering" of de afgeleide. Dit is waar de berekening vaak verwarrend wordt, maar dit is eigenlijk het resultaat van twee simpele feiten. Ten eerste weet u dat de helling van een lijn gelijk is aan hoe snel deze verandert. Ten tweede weet u dat hoe dichter de punten op de lijn liggen, des te nauwkeuriger de uitlezing zal zijn. Maar hoe kun je de snelheid van verandering in een punt vinden als de helling de relatie tussen twee punten is? Het antwoord van de berekening: je moet twee punten oneindig dicht bij elkaar kiezen.

Denk aan het voorbeeld waarin je steeds weer 1 op 2 bleef delen, waarbij je 1/2, 1/4, 1/8, etc. kreeg Op de lange termijn kom je zo dicht bij nul dat het antwoord praktisch nul is. Hier zijn de punten zo dicht bij elkaar dat ze dat zijn "vrijwel ogenblikkelijk". Dit is de aard van de derivaten.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 13

Leer om een verscheidenheid aan derivaten te berekenen. Er zijn veel verschillende technieken om een derivaat te vinden, afhankelijk van de vergelijking, maar de meeste zijn logisch als u zich de basisprincipes van de hierboven samengevatte derivaten herinnert. Derivaten zijn eigenlijk een manier om de helling van een lijn te vinden "oneindig klein". Nu u de theorie van derivaten kent, vindt een groot deel van het werk het vinden van de antwoorden.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 14

Zoek naar afgeleide vergelijkingen om de snelheid van verandering op elk moment te voorspellen. Het is handig om afgeleiden te gebruiken om de snelheid van verandering in een punt te vinden, maar de schoonheid van de berekening is dat je een nieuw model voor elke functie kunt maken. De afgeleide van y = x is bijvoorbeeld Y = 2x. Dit betekent dat u het derivaat voor elk punt in de grafiek y = x kunt vinden door het eenvoudigweg te vervangen in de afgeleide vergelijking. Op punt (2, 4), waarbij x = 2 en y = 4, is de afgeleide 4, omdat Y = 2 * (2).

Er zijn verschillende notaties voor de derivaten. In de vorige stap werden de derivaten gemarkeerd met een premium symbool: voor de afgeleide van

{ displaystyle and,}

,je moet schrijven

{ displaystyle en ^ { prime}.}

Dit wordt genoemd "Lagrange-notatie".

Er is ook een andere populaire manier om derivaten te schrijven. In plaats van het premium-symbool te gebruiken, is het geschreven

{ displaystyle { frac { mathrm {d}} {{ mathrm {d}} x}}.}

Vergeet niet dat de functie

{ displaystyle y = x ^ {2}}

hangt af van de variabele

{ displaystyle x.}

Dus we schrijven de afgeleide als

{ displaystyle { frac {{ mathrm {d}} en} {{ mathrm {d}} x}}}

,de afgeleide van

{ displaystyle and}

met betrekking tot ${ displaystyle x.}$ Dit wordt genoemd "Leibniz-notatie".

Titel afbeelding Understand Calculus Step 15

Onthoud voorbeelden van afgeleiden van de echte wereld voor het geval u er nog steeds moeite mee heeft om het te begrijpen. Het eenvoudigste voorbeeld is gebaseerd op snelheid, die veel verschillende derivaten biedt die we elke dag zien. onthouden: een afgeleide is een maat die aangeeft hoe snel iets verandert. Denk aan het fundamentele experiment van het rollen van een knikker op een tafel, waarin je meet hoe ver en hoe snel het elke keer beweegt. Stel je nu voor dat het marmer een lijn in een grafiek volgt. Hier zou u de afgeleiden moeten gebruiken om de momentane veranderingen op elk punt op die regel te meten.

Hoe snel verandert het marmer van locatie? Wat is de mate van verandering, of de afgeleide, van de beweging van het marmer? Deze afgeleide is wat we noemen "snelheid".

Rol de knikker van een helling af en zie hoe snel hij sneller vaart. Wat is de snelheid van verandering, of de afgeleide, van de snelheid van het marmer? Deze afgeleide is wat we noemen "versnelling".

Rol de knikker uit een pad dat op en neer gaat, als een achtbaan. Hoe snel verwerft het snelheid bergafwaarts en hoe snel verliest het de snelheid bergop? Hoe snel beweegt het precies halverwege de helling op de eerste helling? Dit zou de snelheid van onmiddellijke verandering, of afgeleide, van dat marmer op dat specifieke punt zijn.

Methode 3
Begrijp de integralen

Titel afbeelding Understand Calculus Step 16

Houd er rekening mee dat u de berekening moet gebruiken om complexe gebieden en volumes te vinden. Met de berekening kunt u complexe vormen meten die meestal te moeilijk zijn. Probeer bijvoorbeeld eens uit te zoeken hoeveel water er is in een lang meer en op een eigenaardige manier. Het zou onmogelijk zijn om elke gallon water afzonderlijk te meten of een liniaal te gebruiken om de vorm van het meer te meten. De berekening laat toe om te bestuderen hoe de randen van het meer veranderen en die informatie gebruiken om erachter te komen hoeveel water erin zit.

Het maken van geografische modellen en het bestuderen van het volume gebruikt de integratie. Integratie is de tweede hoofdtak van de berekening.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 17

Begrijp dat de integratie het gebied onder een grafiek vindt. De integratie wordt gebruikt om de ruimte onder een willekeurige lijn te meten, waardoor het gebied op vreemde of onregelmatige manieren kan worden gevonden. Beschouw de vergelijking y = x, die eruit ziet als een gigantische U. Misschien wilt u weten hoeveel ruimte onder de U ligt en kunt u de integratie gebruiken om het te vinden. Hoewel dit misschien zinloos lijkt, denk dan eens aan gebruik in de maakindustrie. U kunt een functie maken die eruit ziet als een nieuw onderdeel en de integratie gebruiken om het gedeelte van dat gedeelte te achterhalen, waardoor u een bestelling voor de juiste hoeveelheid materiaal kunt plaatsen.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 18

Houd er rekening mee dat het nodig is om een gebied te selecteren om te integreren. Je kunt niet gewoon een hele functie integreren. Bijvoorbeeld, y = x is een diagonale lijn die oneindig volgt en je kunt het niet allemaal integreren omdat het nooit zou eindigen. Bij het integreren van functies moet je een gebied kiezen, zoals alle punten tussen x = 2 en x = 5.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 19

Onthoud hoe je het gebied van een rechthoek kunt vinden. Stel je hebt een vlakke lijn op een grafiek als y = 4. Om het gebied onder het te vinden, zou u de oppervlakte van een rechthoek tussen y = 0 en y = 4. Dit is eenvoudig te meten vinden, maar zou nooit werken voor gebogen lijnen ze kunnen niet gemakkelijk rechthoekig worden.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 20

Merk op dat de integratie veel kleine rechthoeken toevoegt om het gebied te vinden. Als u te scherp op een curve focust, ziet deze er plat uit. Dit gebeurt elke dag: je kunt de curve van de aarde niet zien omdat we heel dicht bij het oppervlak zijn. De integratie creëert een oneindig aantal rechthoeken onder een curve die zo klein zijn dat ze praktisch vlak zijn, waardoor ze kunnen worden gemeten. Voeg ze toe om het gebied onder een curve te krijgen.

Stel je voor dat je veel kleine stukjes onder de grafiek toevoegt en de breedte van elk stuk is bijna nul.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 21

Ontdek hoe u integralen correct leest en schrijft. De integralen hebben 4 delen. Een typische integraal ziet er als volgt uit:

{ displaystyle int f (x) { mathrm {d}} x}

Het eerste symbool,

{ displaystyle int,}

het is het symbool van integratie (in werkelijkheid is het een langgerekte S).

Het tweede deel,

{ displaystyle f (x),}

Het is de functie. Als het zich in de integraal bevindt, wordt het genoemd "integreren".

Eindelijk, de

{ displaystyle { mathrm {d}} x}

aan het eind zal het je vertellen over welke variabele je gaat integreren. Als de functie

{ displaystyle f (x)}

hangt af van

{ displaystyle x,}

je moet het integreren ten opzichte van het.

Onthoud dat de variabele die u gaat integreren niet altijd zal zijn

{ displaystyle x,}

,dus wees voorzichtig met wat je schrijft.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 22

Leer om integralen te vinden. Integratie is er in vele vormen en je zult veel verschillende formules moeten leren om elke functie te integreren. Ze volgen echter allemaal de hierboven samengevatte principes: de integratie vindt een oneindig aantal rechthoeken om ze toe te voegen. Dit zijn de verschillende manieren om integralen te vinden:

Integreer door vervanging.

Integreer onbepaalde integralen.

Integreer door delen.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 23

Houd er rekening mee dat integratie de differentiatie omkeert. Dit is een onbetwistbare berekeningsregel en dat heeft geleid tot vele wetenschappelijke en technologische ontwikkelingen. Omdat de integratie en differentiatie zo nauw verwant zijn, kan een combinatie van beide worden gebruikt om de snelheid van verandering, versnelling, snelheid, locatie, beweging, enz vinden, ongeacht de informatie u.

Onthoud bijvoorbeeld dat de afgeleide van snelheid versnelling is, dus u kunt de snelheid gebruiken om versnelling te vinden. Maar als je alleen de versnelling van iets kent (zoals de voorwerpen die vallen door de zwaartekracht), kun je het integreren om de snelheid te vinden. Daarom, ongeacht de gegevens die u hebt, kunt u integratie en differentiatie gebruiken om meer te weten te komen.

Titel afbeelding Understand Calculus Step 24

Houd er rekening mee dat de integratie ook het volume van driedimensionale objecten kan vinden. Een vlakke vorm roteren is een manier om driedimensionale lichamen te maken. Stel je voor dat je een munt op de tafel voor je draait: zie hoe een bol lijkt te draaien. U kunt dit concept gebruiken om het volume te vinden in een proces dat bekend staat als "volume per rotatie".

Hiermee kun je het volume van elk vast lichaam in de wereld vinden, zolang je maar een functie hebt die het weergeeft. U kunt bijvoorbeeld een functie maken die de bodem van een meer volgt en deze vervolgens gebruiken om het volume van het meer te vinden of hoeveel water het bevat.

tips

Verduidelijk uw problemen door uw leraar te raadplegen.
Begin vanuit de basis.
Besteed aandacht tijdens de les.
Oefening baart kunst, dus oefen problemen in je leerboek en bekijk de antwoorden om je te helpen de concepten te begrijpen.

Delen op sociale netwerken:

Verwant