Hoe de Laplace-transformatie van een functie te berekenen

De Laplace-transformatie is een integrale transformatie die het mogelijk maakt een differentiële vergelijking wordt een eenvoudiger algebraïsche vergelijking (hopelijk), waardoor het makkelijker op te lossen.

Inhoud

Stappen
Methode 1
Methode 2
Methode 3
Methode 4
Tips

Hoewel u Laplace-transformatietabellen kunt gebruiken, is het geen slecht idee om te weten hoe u de transformatie zelf kunt maken.

stappen

Zoek uit of u de unilaterale of bilaterale Laplace-transformatie van de functie probeert te vinden. Als het type Laplace-transformatie niet is opgegeven, kunt u ervan uitgaan dat u de unilaterale versie moet berekenen.

Een unilaterale Laplace-transformatie wordt gedefinieerd als:

Een bilaterale Laplace-transformatie wordt gedefinieerd als:

Voer de functie in, f (t), in de definitie van de Laplace-transformatie.

Methode 1

terminologie

Houd rekening met de "Laplace-transformaties". Voor een deel is het een systeem voor het converteren van tijdsafhankelijke domeinrelaties naar een reeks vergelijkingen die worden uitgedrukt in termen van de Laplace-operator s. Vervolgens beïnvloeden de "complexe algebra-manipulaties" de oplossing van het oorspronkelijke probleem in het Laplace-domein of s in plaats van het tijdsdomein:
Het toepassen van Laplace-transformaties is analoog aan het gebruik van logaritmen om bepaalde typen wiskundige bewerkingen te vereenvoudigen. Wanneer logaritmen worden gebruikt, worden de getallen omgevormd tot macht van 10 of
e (natuurlijke logaritmen). Als gevolg van de transformaties worden de vermenigvuldigingen en wiskundige delingen respectievelijk vervangen door optellen en aftrekken.

Op dezelfde manier, past u Laplace-transformatie analyse systemen die in lineaire gewone differentiaalvergelijkingen kan worden beschreven in het tijdsdomein overwint sommige van de complexiteit te vinden in de oplossing van deze vergelijkingen in de tijd domein. Bovendien:

De Laplace-transformatie omvat de integratie van 0 tot het oneindige van een tijdvariabele f (t) die wordt bereikt door te vermenigvuldigen f (t) door e.

f (t) is de toegepaste functie die moet worden gedefinieerd voor alle positieve waarden van t.

s is een complexe algebraïsche variabele die is gedefinieerd als s = a + jω, waar j = sqrt (-1), dus je gebruikt onderdeelnummers denkbeeldig.

Het symbool ik (j in elektrotechniek) wordt gebruikt om √ -1 weer te geven. Daarom is bijvoorbeeld √ (-4) = 2i. Naar het gedenomineerde nummer i, of 1ik o xi, het wordt gewoon een denkbeeldig nummer genoemd.

Een gebruik voor het complexe vlak dat bekend staat als de flat s is om de wortels van de vergelijking te visualiseren die grafisch het gedrag van een systeem beschrijft (de karakteristieke vergelijking). De vergelijking wordt meestal uitgedrukt als een polynoom in de parameter s van de Laplace-transformatie. Daarom staat het bekend als het vliegtuig s.

Het complexe vlak dat Argand-diagrammen gebruikt, toont de flat z, waarin z = x + iy en kan transformaties gebruiken z naast Laplace-transformaties. In wiskunde en signaalverwerking, de getransformeerde z converteert een discreet signaal in het tijdsdomein, dat een reeks van reële en complexe getallen is, naar een representatie in het domein van de complexe frequentie. Het kan worden beschouwd als een discrete-tijdsequivalent van de Laplace-transformatie. Deze gelijkenis wordt onderzocht in de theorie van berekening in de tijdschaal. Door de bilineaire transformatie, het vlakcomplex s (van de Laplace-transformatie) wordt toegewezen aan het platte complex z (van de getransformeerde z).

Z = a + ib, r = e ^ (i theta), a = echt deel van z, b = imaginaire deel van z, r = module van z, theta = argument van z, en a en b zijn echte cijfers. Hoewel deze afbeelding (noodzakelijkerwijs) niet-lineair is, is het handig dat de toewijzing van de gehele as plaatsvindt jΩ van het vliegtuig s over de eenheidscirkel in het vlak z- dat is, dat is de as jΩ ligt in de regio convergentie van de Laplace-transformatie.

Methode 2

Los de transformatie op

Voer de integratie uit met behulp van de integratie door delen. Afhankelijk van de functie f (t), moet u wellicht meerdere keren integreren door onderdelen om de integraal volledig te integreren.

Als u de bilaterale Laplace-transformatie wilt berekenen, vervangt u de 0 door -∞

Voeg de limieten toe aan het resultaat. Schrijf de vergelijking ter vervanging t met oneindig, schrijf dan het negatieve resultaat van dezelfde vergelijking, deze keer vervangend t met 0. Vereenvoudig dit zo veel als je kunt, onthoud de volgende waarden:

Controleer uw antwoord met behulp van een Laplace-transformatietabel.

Methode 3

Discontinue functies

Een discontinue functie kan worden geschreven als:

waarin c is een constante en a en b kan constanten of functies van zijn t. Hoewel dit voorbeeld slechts uit twee delen bestaat, kan er een eindig aantal van zijn.
2

Schrijf de som van de Laplace-transformaties van elk deel van de discontinue functie, met behulp van de opgegeven limieten in plaats van de gebruikelijke 0 tot ∞.
3

Bereken de Laplace-transformaties zoals hierboven weergegeven. Vergeet niet om de juiste limieten te vervangen in plaats van 0 en ∞.
In dit voorbeeld wordt ervan uitgegaan
a en b zijn constant - het resultaat zal gecompliceerder zijn als het functies van t
4

Vereenvoudig het resultaat zo veel als je kunt.

Methode 4
Gebruik de eigenschappen van de Laplace-transformaties
1

Probeer een Laplace-transformatie uit een functie af te leiden als deze sterk lijkt op een andere of meer dan een functie waarvan u de transformatie kent. Bijvoorbeeld:
De Laplace-transformatie van een lineaire combinatie van functies is dezelfde lineaire combinatie voor de Laplace-transformaties.
De Laplace-transformatie van
tf (t) is gelijk aan -F `(s), waar F (s) is de Laplace-transformatie van f (t) en F `(s) is de afgeleide ervan ..
De Laplace-transformatie van
f `(t) is gelijk aan sF (s) -f (0).
De Laplace-transformatie van
e ^ (at) f (t) is gelijk aan F (s-a).
De Laplace-transformatie van een convolutie met twee functies
f en g is gelijk aan het product van zijn Laplace-transformaties.
2

Gebruik de verschillende bekende eigenschappen van de Laplace-transformaties om ze af te leiden met behulp van de vorige stappen. Het is ook handig om de betekenis achter elke eigenschap te kennen.
3

Bestudeer deze vereenvoudigde algemene verklaring: "De Laplace-transformatie van
f (t) is gelijk aan de functie F van s "en schrijf:laplace {f (t)} = F (s).
Evenzo de Laplace-transformatie van een functie
g (t) zou worden geschreven: laplace {g (t)} = G (s).
tips
Laplace transformaties hebben vele toepassingen in de wiskunde, fysica, optica, elektrotechniek, regeltechniek, signaalverwerking en waarschijnlijkheidsrekening. Het werd uitgevonden rond 1872 in een werk over waarschijnlijkheid. In de natuurkunde wordt gebruikt om lineaire systemen, zoals elektrische schakelingen, harmonische oscillator, optische inrichtingen en mechanische systemen te analyseren.
Meer weergeven ... (1)

Delen op sociale netwerken:

Verwant