Hoe de ogenblikkelijke snelheid te berekenen

Snelheid wordt gedefinieerd als de snelheid van een object in een bepaalde richting. In veel voorkomende gevallen, de snelheid we de vergelijking v = s / t, waarbij "v" is de snelheid, "s" is de verschuiving van de beginpositie van het object en "t" is gelijk aan de verstreken tijd. Technisch gezien geeft dit echter alleen de snelheid Gemiddelde van het object tijdens zijn reis. Door berekening is het mogelijk om de snelheid van een object op elk moment tijdens zijn reis te bepalen. Dit staat bekend als

Inhoud

Stappen

Deel 1bereken de momentane snelheid
Deel 2schat de ogenblikkelijke snelheid met een grafiek
Deel 3voorbeelden

Tips

ogenblikkelijke snelheid en wordt gedefinieerd met de vergelijking v = (ds) / (dt) of, met andere woorden, de afgeleide van de vergelijking van de gemiddelde snelheid van het object.

stappen

Deel 1
Bereken de momentane snelheid

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 1

Begin met een vergelijking voor snelheid in termen van verplaatsing. Om de ogenblikkelijke snelheid van een voorwerp te vinden, moeten we eerst een vergelijking hebben die ons op een bepaald moment zijn positie (in termen van verplaatsing) vertelt. Dit betekent dat de vergelijking de variabele moet hebben s op een geïsoleerde kant en t in de andere (niet noodzakelijk geïsoleerd), op deze manier:

s = -1,5t + 10t + 4

In deze vergelijking zijn de variabelen:
Verplaatsing = s . De afstand die het object vanaf de beginpositie heeft afgelegd. Als een object bijvoorbeeld 10 meter naar voren en 7 meter naar achteren beweegt, is de totale verplaatsing 10 - 7 = 3 meter (niet 10 + 7 = 17 meter).
Tijd = t . Het is niet nodig om het uit te leggen. Meestal wordt het gemeten in seconden.

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 2

Neem de afgeleide van de vergelijking. de afgeleide van een vergelijking is gewoon een andere vergelijking die je de helling op een gegeven moment in de tijd vertelt. Om de afgeleide van de verplaatsingsformule te vinden, onderscheidt u de functie met deze algemene regel om de derivaten te vinden: Als y = a * x, afgeleide = a * n * x. Deze regel is van toepassing op alle termen aan de "t" -kant van de vergelijking.

Met andere woorden, begin aan de "t" -kant van de vergelijking, van links naar rechts. Telkens wanneer u een "t" bereikt, trekt u 1 van de exponent af en vermenigvuldigt u de gehele term met de oorspronkelijke exponent. Alle constante termen (termen die geen "t" bevatten) zullen verdwijnen omdat ze vermenigvuldigen met 0. Eigenlijk is dit proces niet zo moeilijk als het lijkt - we leiden de vergelijking in de vorige stap als voorbeeld af:

s = -1,5t + 10t + 4
(2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
-3t + 10t
-3t + 10

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 3

Vervang de "s" door "ds / dt". Om te bewijzen dat onze nieuwe vergelijking een afgeleide is van de eerste, zullen we "s" vervangen door de notatie "ds / dt". Technisch gezien betekent deze notatie "de afgeleide van s met betrekking tot" t ". Een eenvoudigere manier om hier over na te denken is om eenvoudigweg te overwegen dat ds / dt de helling is van een gegeven punt in de eerste vergelijking. Als u bijvoorbeeld de helling van de lijn gevonden door s = -1.5t + 10t + 4 op t = 5 wilt berekenen, geven we gewoon een waarde van "5" tot "t" in zijn afgeleide.

In ons huidige voorbeeld zou onze definitieve vergelijking er als volgt uit moeten zien:

ds / dt = -3t + 10

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 4

Geef een waarde van "t" voor de nieuwe vergelijking om de momentane snelheid te vinden. Nu dat je de afgeleide vergelijking hebt, zal het vinden van de momentane snelheid op elk moment eenvoudig zijn. Het enige dat u hoeft te doen, is een waarde voor "t" kiezen en deze in uw afgeleide vergelijking vervangen. Als we bijvoorbeeld de momentane snelheid op t = 5 willen vinden, vervangen we eenvoudig "5" door "t" in de afgeleide ds / dt = -3 + 10. Dan zullen we de vergelijking op de volgende manier oplossen:

ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 meter per seconde

Houd er rekening mee dat we in het schema het label "meters per seconde" gebruiken. Aangezien we te maken hebben met verplaatsing in termen van meters en met de tijd in termen van seconden, en snelheid in het algemeen is gewoon verplaatsing in de tijd, is dit label voldoende.

Deel 2
Schat de ogenblikkelijke snelheid met een grafiek

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 5

Grafiek de verplaatsing van het object door de tijd heen. In het vorige gedeelte wezen we erop dat de derivaten eenvoudigweg formules zijn die ons in staat stellen de helling op elk moment te vinden voor de vergelijking waarvoor je het derivaat hebt genomen. Als je de verplaatsing van een object met een lijn in een afbeelding vertegenwoordigt, de helling van de lijn op een bepaald punt zal gelijk zijn aan de momentane snelheid van het object op dat punt.
Om de verplaatsing van een object in een grafiek weer te geven, gebruikt u de "x" -as om de tijd weer te geven en de "y" -as om die verplaatsing weer te geven. dan, traceer de punten Wanneer u waarden opgeeft voor "t" in uw verplaatsingsvergelijking, krijgt u de waarden van "s" voor uw antwoorden en markeert u de punten t, s (x, y) in de grafiek.
Merk op dat de grafiek zich onder de "x" -as kan uitstrekken. Als de lijn die de beweging van het object vertegenwoordigt, onder de `x`-as valt, geeft dit de beweging weer van het object onder het punt waar het vandaan komt. Over het algemeen zal de grafiek niet verder reiken dan de "y" -as, dus we meten niet altijd de snelheid voor objecten die achteruit in de tijd bewegen!

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 6

Kies een punt P en een punt Q die zich dicht bij de helling op de lijn bevinden. Om de helling van een lijn op één punt P te vinden, hebben we een truc gebruikt met de naam "neem een limiet". Dit omvat het nemen van twee punten (P plus Q, een punt in de buurt ervan) op de gebogen lijn en het vinden van de helling van de lijn die ze steeds weer verbindt wanneer de afstand tussen P en Q korter wordt.

Stel dat onze verplaatsingslijn punten (1,3) en (4,7) bevat. In dit geval, als we de helling in (1,3) willen vinden, kunnen we dat vaststellen (1,3) = P en (4.7) = Q.

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 7

Zoek de helling tussen P en Q. De helling tussen P en Q is het verschil in de waarden van "y" voor P en Q ten opzichte van het verschil in de waarden van "x" voor P en Q. Met andere woorden, H = (en_Q - en_P) / (x_Q - X_P), waar H de helling tussen de twee punten is. In ons voorbeeld is de helling tussen P en Q:

H = (en_Q - en_P) / (x_Q - X_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 8

Herhaal deze stap verschillende keren, waarbij Q dichter en dichter bij P. komt. Je doel is om de afstand tussen P en Q kleiner en kleiner te maken totdat je een enkel punt nadert. Hoe kleiner de afstand tussen P en Q, hoe dichter de helling kleine lijnsegmenten de helling op het punt P. Laten we een paar keer onze vergelijking met de punten (2,4.8), (1.5,3.95 ) en (1.25.3.49) voor Q en ons oorspronkelijke punt van (1,3) voor P:

Q = (2,4.8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9

Q = (1.25.3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (.49) / (.25) = 1.96

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 9

Schat de helling voor een oneindig klein interval op de lijn. Naarmate Q dichter bij P komt, komt H dichter bij de helling bij punt P. Op de lange duur zal H met een oneindig klein interval gelijk zijn aan de helling bij P. Omdat we niet kunnen Om een oneindig klein interval te meten of te berekenen, schatten we alleen de helling op P zodra deze vrij is van de punten die we hebben getest.

In ons voorbeeld, als we Q naar P benaderen, verkrijgen we de waarden van 1,8, 1,9 en 1,96 voor H. Aangezien deze aantallen 2 lijken te benaderen, kunnen we zeggen dat 2 het is een goede schatting voor de helling in P.

Onthoud dat de helling op een gegeven punt van een lijn gelijk is aan de afgeleide van de vergelijking van de lijn op dat punt. Omdat onze lijn de verplaatsing van het voorwerp in de loop van de tijd weergeeft en, zoals we in de vorige paragraaf zagen, de momentane snelheid van een object het afgeleide is van zijn verplaatsing op een bepaald punt, kunnen we zeggen dat 2 meter per seconde het is een goede schatting voor de ogenblikkelijke snelheid op t = 1.

Deel 3
Voorbeelden

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 10

Vind de momentane snelheid op t = 4 omdat de verplaatsingsvergelijking s = 5t - 3t + 2t + 9 is. Dit is vergelijkbaar met ons voorbeeld in de eerste sectie, behalve dat we te maken hebben met een kubieke vergelijking in plaats van een kwadratische vergelijking, dus we kunnen het op dezelfde manier oplossen.

Eerst nemen we de afgeleide van onze vergelijking:
s = 5t - 3t + 2t + 9
s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
15t - 6t + 2t - 6t + 2
Vervolgens geven we de waarde aan t (4):
s = 15t - 6t + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter per seconde

Titel afbeelding Calculate Instantaneous Velocity Step 11

Gebruik een grafische schatting om de momentane snelheid in (1,3) voor de verplaatsingsvergelijking s = 4t - t te vinden. Voor dit probleem gebruiken we (1,3) als ons punt P, maar we zullen enkele andere punten in de buurt moeten vinden om ze te gebruiken als onze Q-punten. Dus, het is gewoon een kwestie van de waarden voor H te vinden en een schatting te maken.

Laten we eerst de punten van Q op t = 2, 1.5, 1.1 en in 1.01 vinden.

s = 4t - t

t = 2: s = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, dan Q = (2,14)

t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, dan Q = (1.5.7.5)

t = 1,1: s = 4 (1.1) - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, toen Q = (1.1,3.74)

t = 1.01: s = 4 (1,01) - (1,01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, vervolgens Q = (1.01.3.0704)

Zoek vervolgens de waarden van H:

Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = 11

Q = (1.5.7.5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (5) = 9

Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3

Q = (1.01.3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04

Omdat de waarden van H bijna 7 lijken te zijn, kunnen we dat zeggen 7 meter per seconde het is een goede schatting voor de ogenblikkelijke snelheid in (1,3).

tips

Om de versnelling (de verandering in snelheid in de loop van de tijd) te vinden, gebruikt u de methode van het eerste deel om een afgeleide vergelijking voor de verplaatsingsfunctie te verkrijgen. Neem vervolgens een ander derivaat, maar deze keer een van de afgeleide vergelijkingen. Dit geeft je een vergelijking waarin je de versnelling op een bepaald moment moet vinden. Het enige wat je hoeft te doen is het waarde te geven voor de tijd.
De vergelijking die Y (verplaatsing) met X (tijd) in verband brengt, kan vrij eenvoudig zijn, bijvoorbeeld Y = 6x + 3. In dit geval is de helling constant en is het niet nodig om een afgeleide te vinden om deze te vinden, namelijk 6, volgens Y = mx + b een basismodel voor lineaire grafieken.
De verplaatsing is als afstand maar heeft een vastgestelde richting, waardoor het een vector en de snelheid op een schaal wordt. De verplaatsing kan negatief zijn terwijl de afstand altijd positief zal zijn.

Delen op sociale netwerken:

Verwant