Hoe de helling van een vergelijking te vinden

De helling van een lijn geeft aan hoe snel die lijn verandert. Dit wordt toegepast in rechte lijnen, waarbij de helling precies aangeeft hoe ver het gaat voordat het omhoog of omlaag gaat. De gebogen lijnen hebben echter ook een helling. Bij berekening is de helling ook bekend als "afgeleide" van een functie. Hoe dan ook, je zou de helling gewoon moeten zien als de "reden voor verandering" van een functie: als het de waarde van verhoogt "X", Hoeveel kost de waarde van "en"? Dat is de helling.

Inhoud

Stappen

Methode 1zoek de helling van een lineaire vergelijking
Methode 2zoek de helling tussen twee punten
Methode 3gebruik differentiaalberekeningsbewerkingen om de helling van een curve te vinden

stappen

Methode 1
Zoek de helling van een lineaire vergelijking

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Stap 1

Gebruik de helling om te bepalen hoe steil een lijn is en in welke richting. Het vinden van de helling in lineaire vergelijkingen is erg gemakkelijk, zolang je maar de vergelijking van de lijn hebt. Deze methode werkt alleen in de volgende gevallen:

Als er geen exponenten zijn.
Als er slechts twee variabelen zijn en geen ervan een breuk is (u zou bijvoorbeeld niet kunnen hebben ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$ ).
Als de vergelijking kan worden vereenvoudigd in de vorm ${ displaystyle y = mx + b}$ ,waarin m en b zijn constanten (dat wil zeggen getallen, bijvoorbeeld 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$ ).

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 2

Zoek het nummer dat voor de x staat, meestal geschreven als "m", om de helling te bepalen. Als uw vergelijking al op de juiste manier is uitgedrukt,

{ displaystyle y = mx + b}

neem gewoon het nummer dat in de positie van "m". Dat is de helling! Houd er rekening mee dat dit aantal altijd wordt vermenigvuldigd met een variabele, in dit geval "X". Als je het verwarrend vindt, bekijk dan de volgende voorbeelden:

{ displaystyle y = 2x + 6}

Helling = 2

{ displaystyle y = 2-x}

Helling = -1

{ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}

Helling = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 3

Herorden de vergelijking waarbij een geïsoleerde variabele overblijft, als de helling niet erg duidelijk is in de vergelijking. U kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en andere bewerkingen uitvoeren om een variabele te isoleren, meestal de "en". Onthoud gewoon dat alles wat u aan de ene kant van de vergelijking doet (bijvoorbeeld 5), u ook aan de andere kant moet doen. Het uiteindelijke doel is om een vergelijkbare vergelijking te verkrijgen

{ displaystyle y = mx + b}

.Bijvoorbeeld:

Zoek de helling van ${ displaystyle 2y-3 = 8x + 7}$

Druk het op de manier uit ${ displaystyle y = mx + b}$ :

{ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x + 7 (+3)}

{ displaystyle 2y = 8x + 10}

{ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}

{ displaystyle y = 4x + 5}

Vind de helling:

Helling = M = 4

Methode 2
Zoek de helling tussen twee punten

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 4

Gebruik een grafiek en twee punten om de helling te vinden, als je de vergelijking niet bij de hand hebt. Als je een grafiek en een lijn hebt, maar geen vergelijking, kun je de helling nog steeds gemakkelijk vinden. Het enige dat u nodig hebt, zijn twee punten op de regel om ze in de vergelijking te vervangen

{ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}

.Wanneer u de helling gaat berekenen, houd dan rekening met de volgende informatie om te zorgen dat u de dingen goed doet:

Positieve hellingen nemen toe als je naar rechts gaat.
De negatieve hellingen nemen af naarmate je naar rechts gaat.
Grote hellingen zijn zeer steile lijnen. De kleine hellingen zijn altijd geleidelijker.
Volledig horizontale lijnen hebben geen helling.
De volledig verticale lijnen hebben direct geen helling. Integendeel, de helling is "onbepaald".

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 5

Zoek twee punten door ze in de vorm te plaatsen (x, y). Gebruik de grafiek (of probeer de vergelijking) om de coördinaten te vinden x e en twee punten van de grafiek. Dit kunnen twee willekeurige punten zijn waar de lijn passeert. Stel dat de regel in dit voorbeeld punten (2,4) en (6,6) doorkruist.

In elk geordend paar is de x-coördinaat het eerste getal en de y-coördinaat achter de komma.

Elke x-coördinaat van de lijn heeft een bijbehorende y-coördinaat.

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 6

Label je punten als x₁, en₁, X₂, en₂, elk punt behouden met zijn paar. Vervolg met het eerste voorbeeld, met de punten (2,4) en (6,6), label de coördinaten x e en vanaf elk punt. Je zou zo moeten blijven:

X₁: 2

en₁: 4

X₂: 6

en₂: 6

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 7

Vervang de punten in de "punt-helling vergelijking" om de helling te krijgen. De volgende formule wordt gebruikt om de helling van een rechte lijn te berekenen met behulp van twee punten: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$ . Vervang nu eenvoudigweg de variabelen door uw vier coördinaten en vereenvoudig de vergelijking:

Oorspronkelijke punten: (2,4) en (6,6).

Vervangen in de punt-helling vergelijking:

{ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}

Vereenvoudig om het laatste antwoord te krijgen:

${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = In behandeling

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 8

Begrijp hoe de punt-slope-vergelijking werkt. De helling van een lijn is "wat gaat er gebeuren?", dat wil zeggen, hoeveel de lijn gedeeld door hoeveel "voorschotten" de regel naar rechts. wat dan ook "omhoog gaan" de lijn is het verschil tussen de waarden van y (onthoud dat de y-as zich op en neer uitstrekt) en wat "voorschotten" de lijn is het verschil tussen de waarden van x (de x-as strekt zich naar links en naar rechts uit).

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 9

Leer andere methoden waarmee ze je kunnen vragen de helling te vinden. De vergelijking van de helling is

{ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}

.Dit kan ook verschijnen bij de Griekse letter "Δ", bel "delta", wat bedoel je? "verschil van". De helling kan worden uitgedrukt als Δy / Δx, wat betekent "verschil van y / verschil van x". Dit is precies hetzelfde als wanneer je wordt gevraagd de helling tussen twee punten te vinden.

Methode 3
Gebruik differentiaalberekeningsbewerkingen om de helling van een curve te vinden

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 10

Bekijk de berekening van verschillende derivaten van veelgebruikte functies. De derivaten geven de snelheid van verandering (of helling) van een specifiek punt in een lijn aan. De lijn kan gebogen of recht zijn, het maakt niet uit. Stel je voor dat de afgeleide de verandering is van een regel op een bepaald tijdstip, in plaats van het voor te stellen als de helling van de hele lijn. De manier waarop u de wijzigingen in de afgeleide kunt berekenen, is afhankelijk van de functie die u hebt. We raden u aan om eerst na te gaan hoe de meest gebruikelijke derivaten worden berekend.

U kunt hier bekijken hoe u derivaten kunt berekenen.
Er zijn enkele snelkoppelingen om de eenvoudigste afgeleide te vinden, die van de basis exponentiële vergelijkingen. Om verder te gaan met de rest van de uitleg, worden die snelkoppelingen gebruikt (je kunt ze leren hier- dit artikel is in het Engels maar toont de algebraïsche handelingen stap voor stap).

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 11

Begrijp de verschillende manieren waarop je gevraagd kunt worden om de helling van een functie te vinden via zijn afgeleide. U wordt niet altijd expliciet gevraagd om de afgeleide of helling van een curve te vinden. U kunt ook vragen over de "snelheid van verandering op het punt (x, y)" of de vergelijking van de helling van de grafiek, wat simpelweg betekent dat je zijn afgeleide moet vinden. Ten slotte kun je je afvragen wat er is "de helling van de raaklijn op punt (x, y)". Nogmaals, wanneer ze je dat vragen, willen ze weten wat de helling van de curve is op een specifiek punt, (x, y).

Stel je voor deze methode voor dat ze je vragen: "Wat is de helling van de lijn

{ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}

in het punt (4.2)?".

Het derivaat wordt vaak uitgedrukt als

{ displaystyle f `(x), y`,}

{ displaystyle { frac {dy} {dx}}}

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 12

Bereken de afgeleide van de functie. Eigenlijk zult u zelfs de grafiek van de functie niet nodig hebben, u zult alleen de functie zelf of de vergelijking van de grafiek nodig hebben. Gebruik in dit geval de hierboven genoemde voorbeeldfunctie

{ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}

.Volg de stappen die worden uitgelegd The_Shortcut_sub hier, bereken de afgeleide van deze eenvoudige functie.

derivaat: ${ displaystyle f `(x) = 4x + 6}$

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Stap 13

Vervang het punt in de afgeleide vergelijking om de helling te verkrijgen. Het verschil in een functie zal u vertellen wat de helling van de functie op een bepaald punt is. Met andere woorden, f `(x) is de helling van de functie op elk punt (x, f (x)). Daarom, om het voorbeeld probleem op te lossen:

Wat is de helling van de lijn

{ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}

in het punt (4.2)?

Afgeleid van de vergelijking:

{ displaystyle f `(x) = 4x + 6}

Vervang het punt in x:

{ displaystyle f `(x) = 4 (4) +6}

Vind de helling:

De helling van

{ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}

in (4.2) is 22.

Titel afbeelding Find the Slope of a Equation Step 14

Controleer waar mogelijk het resultaat in de grafiek. Onthoud dat bij de berekening niet alle punten helling hebben. In de berekening zijn er gecompliceerde vergelijkingen en complexe grafieken waarin niet alle punten helling hebben of zelfs bestaan in alle grafieken. Gebruik waar mogelijk een grafische rekenmachine om de helling van uw grafiek te controleren. Als dat niet lukt, teken dan de raaklijn met het punt en de helling (onthoud: "wat gaat er gebeuren?") en controleer of het op zijn minst zinvol lijkt.

Raaklijnen zijn gewoon lijnen die exact dezelfde helling hebben als een punt op de curve. Om een raaklijn te tekenen, ga de helling op (als deze positief is) of omlaag (als deze negatief is). In het voorbeeldgeval zou dit 22 punten hoger zijn. Verplaats vervolgens een plaats (in dit geval naar rechts) en teken een punt. Verbind beide punten, (4,2) en (26,3), en je krijgt de tangens.

Delen op sociale netwerken:

Verwant