Hoe te achterhalen of twee lijnen parallel zijn

Parallelle lijnen zijn lijnen die elkaar nooit in een vlak zullen snijden (wat betekent dat ze tot in het oneindige blijven zonder elkaar te raken). Een fundamenteel kenmerk van parallelle lijnen is dat ze dezelfde helling hebben. De helling van een lijn wordt gedefinieerd als de hoogte (verandering in de coördinaten van Y) op het voorschot (verandering in de coördinaten van X). Met andere woorden, het betekent hoe steil de lijn is. Parallelle lijnen worden meestal weergegeven door twee verticale lijnen (||). AB || CD geeft bijvoorbeeld aan dat lijn AB parallel is aan CD.

Inhoud

Stappen

Methode 1vergelijk de hellingen van elke lijn
Methode 2gebruik de formule voor hellingskruising
Methode 3definieer een parallelle lijn met de punt-helling vergelijking

stappen

Methode 1
Vergelijk de hellingen van elke lijn

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 1

Bepaalt de formule van de helling. De helling van een lijn is gedefinieerd als

{ displaystyle (Y}}

_{${ displaystyle 2}$}

{ displaystyle -Y}

_{${ displaystyle 1}$}

{ displaystyle) / (X}

_{${ displaystyle 2}$}

{ displaystyle -X}

_{${ displaystyle 1}$}

{ displaystyle)}

waarin

{ displaystyle X}

{ displaystyle Y}

zij zijn de horizontale en verticale coördinaten (respectievelijk) van de punten van de lijn. Om deze formule te berekenen, moet u twee punten op de regel definiëren. Het punt dat zich het dichtst bij de onderkant van de lijn bevindt is

{ displaystyle (X}

_{${ displaystyle 1}$}

{ displaystyle, Y}

_{${ displaystyle 1}$}

{ displaystyle)}

en het hoogste punt van de lijn, dat boven het eerste punt ligt, is

{ displaystyle (X}

_{${ displaystyle 2}$}

{ displaystyle, Y}

_{${ displaystyle 2}$}

{ displaystyle)}

U kunt deze formule opnieuw bekijken als hoogte bij voorbaat. Dat wil zeggen, het verschil van de verticale verandering over het verschil van de horizontale verandering, of de helling van de lijn.
Als een lijn naar rechts wijst, heeft deze een positieve helling.
Als een lijn naar rechts wijst, heeft deze een negatieve helling.

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 2

Identificeer de coördinaten ${ displaystyle X}$ en ${ displaystyle Y}$ van de punten van elke regel. De punten van een lijn worden gegeven door de coördinaten

{ displaystyle (X, Y)}

waarin

{ displaystyle X}

is de locatie van het punt op de horizontale as en

{ displaystyle Y}

is de locatie van het punt op de verticale as. Om de helling te berekenen, moet u twee punten van elk van de betreffende lijnen identificeren.

Punten kunnen eenvoudig worden bepaald als u de lijn op ruitjespapier getekend hebt.

Om een punt te definiëren, tekent u een stippellijn van de horizontale as naar het snijpunt met de lijn. De positie van waaruit u de lijn op de horizontale as begon, is de coördinaat van

{ displaystyle X}

.De Y-coördinaat is waar de stippellijn van de verticale as de lijn kruist.

Bijvoorbeeld: de lijn Hij heeft punten ${ displaystyle (1,5)}$ en ${ displaystyle (-2,4)}$ ,terwijl de lijn r heeft de punten ${ displaystyle (3,3)}$ en ${ displaystyle (1, -4)}$ .

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 3

Vervang de punten van elke regel in de slope-formule. Om de helling echt te berekenen, vervangt u gewoon de getallen, trekt u af en deelt u vervolgens. Zorg ervoor dat u de coördinaten in de overeenkomstige waarden van vervangt

{ displaystyle X}

{ displaystyle Y}

in de formule:

Om de helling van de lijn te berekenen l: ${ displaystyle in behandeling = (5 - (- 4)) / (1 - (- 2))}$

Resta:

{ displaystyle in behandeling = 9/3}

verdelen:

{ displaystyle in behandeling = 3}

De helling van de lijn r is: ${ displaystyle in behandeling = (3 - (- 4)) / (3-1) = 7/2}$

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 4

Vergelijk de hellingen van elke lijn. Onthoud: twee lijnen zijn parallel als en alleen als ze dezelfde helling hebben. De lijnen kunnen er op papier evenwijdig uitzien en zelfs bijna parallel zijn, maar als de hellingen niet precies hetzelfde zijn, zijn ze niet parallel.

In dit voorbeeld is 3 niet gelijk aan 7/2, daarom zijn die twee lijnen niet parallel.

Methode 2
Gebruik de formule voor hellingskruising

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 5

Definieert de hellingskruisingformule van een lijn. De helling-intersectie formule van een lijn is

{ displaystyle y = mx + b}

.waarin

{ displaystyle m}

is de helling,

{ displaystyle b}

de kruising met de as

{ displaystyle and}

,en

{ displaystyle x}

{ displaystyle and}

zijn de variabelen die de coördinaten van de lijn vertegenwoordigen. Over het algemeen worden ze gedefinieerd als

{ displaystyle x}

{ displaystyle and}

in de vergelijking. Op deze manier kunt u eenvoudig de helling van de lijn als variabele bepalen

{ displaystyle m}

bijvoorbeeld: herschrijft ${ displaystyle 4y-12x = 20}$ en ${ displaystyle y = 3x-1}$ .De vergelijking ${ displaystyle 4y-12x = 20}$ moet worden uitgedrukt in termen van ${ displaystyle x}$ algebraïsche stappen gebruiken, terwijl ${ displaystyle y = 3x-1}$ Het wordt al uitgedrukt als de formule voor hellingskruising, daarom is het niet nodig om het te herschrijven.

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 6

Herschrijf de formule van de hellingskruisinglijn. De formule van de lijn bevindt zich vaak niet in het formulier voor hellingskruising. Om het naar dit formulier te converteren, moet je gewoon wat wiskundige bewerkingen doen en het opnieuw ordenen.

bijvoorbeeld: herschrijf de regel ${ displaystyle 4y-12x = 20}$ van het formulier hellingskruising.

som

{ displaystyle 12x}

aan beide zijden van de vergelijking:

{ displaystyle 4y-12x + 12x = 20 + 12x}

Verdeel elke partij door

{ displaystyle 4}

verkrijgen

{ displaystyle and}

{ displaystyle 4y / 4 = 12x / 4 + 20/4}

In afwachting van kruisende vorm:

{ displaystyle y = 3x + 5}

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 7

Vergelijk de hellingen van elke lijn. Onthoud dat wanneer twee lijnen parallel aan elkaar zijn, ze exact dezelfde helling moeten hebben. Gebruik de vergelijking

{ displaystyle y = mx + b}

waarin

{ displaystyle m}

is de helling van de lijn, je kunt de hellingen van beide lijnen identificeren en vergelijken.

Volgend op het voorbeeld, heeft de eerste regel de vergelijking

{ displaystyle y = 3x + 5}

,daarom is de helling ervan 3. De andere regel heeft de vergelijking

{ displaystyle y = 3x-1}

,dus de helling is ook 3. Omdat de hellingen van beide lijnen identiek zijn, zijn beide lijnen evenwijdig.

Merk op dat als deze vergelijkingen hetzelfde snijpunt op de as hadden

{ displaystyle and}

dan zouden ze niet parallel zijn, maar beide vergelijkingen zouden dezelfde lijn vertegenwoordigen.

Methode 3
Definieer een parallelle lijn met de punt-helling vergelijking

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 8

Bepaalt de punt-hellingvergelijking. Met het punt-hellingsformulier kun je de vergelijking van een lijn schrijven als je de helling kent en je een coördinaat hebt

{ displaystyle (x, y)}

.U kunt deze formule gebruiken als u een tweede lijn parallel aan een andere gegeven lijn wilt definiëren met een bepaalde helling. De formule is

{ displaystyle y-y}

_{${ displaystyle 1}$}

{ displaystyle = m (x-x}

_{${ displaystyle 1}$} waarin

{ displaystyle m}

is de helling van de lijn

{ displaystyle x}

_{${ displaystyle 1}$} is de coördinaat

{ displaystyle x}

vanaf een gegeven punt op de lijn en

{ displaystyle and}

_{${ displaystyle 1}$} is de coördinaat

{ displaystyle and}

vanaf datzelfde punt. Net als in de slope-intercept-vergelijking,

{ displaystyle x}

{ displaystyle and}

zijn de variabelen die de coördinaten van de lijn vertegenwoordigen. Over het algemeen worden ze gedefinieerd als

{ displaystyle x}

{ displaystyle and}

in de vergelijking.

De volgende stappen laten u zien hoe u dit voorbeeld kunt oplossen: schrijf de vergelijking van een lijn evenwijdig aan de lijn ${ displaystyle y = -4x + 3}$ dat gaat door het punt ${ displaystyle (1, -2)}$ .

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 9

Bepaal de helling van de eerste lijn. Wanneer u de vergelijking van een nieuwe lijn gaat herschrijven, moet u eerst de helling van de parallelle lijn identificeren waarnaar u gaat tekenen. Zorg ervoor dat de vergelijking van de oorspronkelijke regel wordt uitgedrukt in het formulier voor hellingskruising en u kent de helling (

{ displaystyle m}

De parallelle lijn waar je parallel gaat tekenen is

{ displaystyle y = -4x + 3}

.In deze vergelijking vertegenwoordigt -4 de variabele

{ displaystyle m}

en daarom is dat de helling van de lijn.

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 10

Identificeer een punt dat bij de nieuwe regel hoort. Deze vergelijking is alleen van toepassing als je de coördinaat hebt van een punt dat door de nieuwe regel loopt. Zorg ervoor dat u geen coördinaat van de oorspronkelijke lijn kiest. Als de laatste vergelijkingen hetzelfde snijpunt hebben met de as

{ displaystyle and}

,dan zullen ze niet parallel zijn maar het is dezelfde lijn.

Voor dit voorbeeld kunt u de coördinaat gebruiken

{ displaystyle (1, -2)}

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 11

Noteer de vergelijking van de nieuwe regel met behulp van het punthellingsformulier. Vergeet niet dat de formule is

{ displaystyle y-y}

_{${ displaystyle 1}$}

{ displaystyle = m (x-x}

_{${ displaystyle 1}$}

{ displaystyle)}

.Vervang de helling en de coördinaten van het punt dat u hebt gekozen om de vergelijking van een nieuwe lijn parallel aan de eerste te herschrijven.

Gebruik het voorbeeld van de helling (

{ displaystyle m}

-4 en

{ displaystyle (1, -2)}

als coördinaat

{ displaystyle (x, y)}

{ displaystyle en - (- 2) = - 4 (x-1)}

Titel afbeelding Figure out if Two Lines Are Parallel Step 12

Vereenvoudig de vergelijking. Nadat u de cijfers hebt vervangen, kunt u de vergelijking vereenvoudigen om deze in de meest voorkomende helling-snijpuntindeling te laten. De lijn van de vergelijking, als de grafiek in een coördinaatvlak evenwijdig is aan de gegeven vergelijking.

bijvoorbeeld: