emkiset.ru

Hoe de hoek tussen twee vectoren te vinden

Wiskundigen en grafische programmeurs moeten vaak de hoek tussen twee bepaalde vectoren vinden. Gelukkig vereist de formule om deze berekening uit te voeren niets geavanceerder dan een scalair product. Hoewel het gemakkelijker is om de redenering hierachter in twee dimensies te begrijpen, kunt u de formule uitbreiden naar vectoren met een willekeurig aantal componenten.

stappen

Deel 1
Zoek de hoek tussen twee vectoren

Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 01
1
Identificeer vectoren Noteer alle informatie die u heeft over de twee vectoren. Hier gaan we ervan uit dat je alleen de definitie van de vector hebt in termen van zijn dimensionale coördinaten (ook wel componenten genoemd). Als u de lengte van een vector (de grootte ervan) al kent, kunt u enkele van de volgende stappen overslaan.
  • Voorbeeld: de tweedimensionale vector of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}= (2,2). vector v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= (0,3). Deze kunnen ook als worden geschreven of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}= 2i + 2j en v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= 0i + 3j = 3j.
  • Hoewel ons voorbeeld tweedimensionale vectoren gebruikt, behandelen de onderstaande instructies vectoren met een willekeurig aantal componenten.
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 02
    2
    Schrijf de cosinus-formule. Om de hoek θ tussen twee vectoren te vinden, begint u met de formule om de cosinus van de hoek te vinden. Je kunt deze formule leren in het volgende gedeelte van het artikel of gewoon schrijven:
  • cosθ = (of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||)
  • ||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| middelen "de lengte van de vector of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}".
  • of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}het is het scalaire product (of stippenproduct) van de twee vectoren die hieronder worden uitgelegd.
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 03
    3
    Bereken de lengte van elke vector. Teken een rechthoekige driehoek die begint bij de "x" -component van de vector, de "y" -component en de vector zelf. De vector vormt de hypotenusa van de driehoek, dus om de lengte te vinden, zullen we de stelling van Pythagoras gebruiken. Als gevolg hiervan kan deze formule eenvoudig worden uitgebreid tot vectoren met een willekeurig aantal componenten.
  • ||of|| = u1 + of2. Als een vector meer dan twee componenten heeft, blijft u + u toevoegen3 + of4 + ...
  • Daarom voor een tweedimensionale vector, ||of|| = √ (u1 + of2).
  • In ons voorbeeld ||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}|| = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 04
    4
    Bereken het scalaire product van de twee vectoren. Je hebt deze methode van vectorvermenigvuldiging waarschijnlijk al geleerd, ook wel bekend als scalair product. Om het scalaire product te berekenen in termen van vectorcomponenten, vermenigvuldigt u de componenten in elke richting en voegt u vervolgens alle resultaten toe.
  • Zie voor computergrafiekprogramma`s het gedeelte Tips voordat u doorgaat.
  • In wiskundige termen, of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= u1v1 + of2v2, waar u = (u1, of2). Als de vector meer dan twee componenten heeft, blijft u + u toevoegen3v3 + of4v4...
  • In ons voorbeeld of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}= u1v1 + of2v2 = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Dit is het scalaire product van de vector of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}en v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}.


  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 05
    5
    Vervang de resultaten in de formule. Onthoud, cosθ = ((of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}} -• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||). Nu kent u het scalaire product en de lengte van elke waarde. Voer deze resultaten in deze formule in om de cosinus van de hoek te berekenen.
  • In ons voorbeeld is cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 06
    6
    Zoek de hoek op basis van de cosinus. U kunt de acos- of cos-functie van uw rekenmachine gebruiken om de hoek θ te vinden op basis van een bekende cosθ-waarde. Voor sommige resultaten kunt u de hoek op basis van oplossen eenheidscirkel.
  • In ons voorbeeld cosθ = √2 / 2. Schrijven "bogen (√2 / 2)" in je rekenmachine om de hoek te vinden. Je kunt ook de hoek θ in de eenheidscirkel waar cosθ = √2 / 2 vinden. Dit is waar voor θ = /4 of 45º.
  • Door alles bij elkaar te voegen, is de uiteindelijke formule: angle θ = arcsine ((of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||))

    • Deel 2
    Definieer de hoekformule




    Titel afbeelding Become a College Professor Step 17
    1
    Begrijp het doel van deze formule. Deze formule is niet afgeleid van de bestaande regels. In plaats daarvan is het gemaakt als een definitie van het scalaire product van twee vectoren en de hoek ertussen. Deze beslissing was echter niet willekeurig. Als we de basisgeometrie onthouden, kunnen we zien waarom deze formule leidt tot intuïtieve en bruikbare definities.
    • De hieronder beschreven voorbeelden gebruiken tweedimensionale vectoren omdat ze het meest intuïtief zijn om te gebruiken. Vectoren met drie of meer componenten hebben eigenschappen die zijn gedefinieerd met een zeer vergelijkbare algemene formule.
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 08
    2
    Bekijk de Cosine-stelling. Neem een ​​gewone driehoek met de hoek θ tussen zijden a en b, en aan de andere kant van c. De Cosinus-stelling geeft aan dat c = a + b -2abcos (θ). Dit is vrij eenvoudig afgeleid van de basisgeometrie.
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 09
    3
    Verbind twee vectoren om een ​​driehoek te vormen. Teken een paar 2D-vectoren op papier, vectoren a&# 8407- en b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}},met de hoek θ ertussen. Teken een derde vector ertussen om een ​​driehoek te vormen. Met andere woorden, teken een vector c&# 8407 als naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +c→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}= b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}.Deze vector c→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}= naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}.
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 10
    4
    Schrijf de Cosinus Stelling voor deze driehoek. Voer de lengte van de zijkanten van onze "driehoek vector" in de Cosine Stelling:
  • ||(a - b)|| = ||naar|| + ||b|| - 2||naar|| ||b||cos (θ)
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 11
    5
    Schrijf het met het scalaire product. Bedenk dat een scalair product de vergroting is van één vector die in een andere wordt geprojecteerd. Het scalaire product van een vector op zichzelf vereist geen projectie, omdat er geen verschil in richting is. Dit betekent dat een&# 8407- • naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}= ||naar||. Gebruik deze informatie om de vergelijking te herschrijven:
  • (naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) • (naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) = naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -2||naar|| ||b||cos (θ)
  • Titel afbeelding Find the Angle Between Two Vectors Step 12
    6
    Herschrijf het in de gezinsformule. Vouw de linkerkant van de formule uit en vereenvoudig om de formule te gebruiken voor het vinden van hoeken.
  • naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} -naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}= naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}} +b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -2||naar|| ||b||cos (θ)
  • - naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}} -b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}• naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}= -2||naar|| ||b||cos (θ)
  • -2 (naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}) = -2||naar|| ||b||cos (θ)
  • naar→{ displaystyle { overrightarrow {a}}}• b→{ displaystyle { overrightarrow {b}}}= ||naar|| ||b||cos (θ)

    • tips

    • Te vervangen en snel oplossen van de vergelijking, die deze formule voor elk paar twee-dimensionale vectoren: = cos (u1 • v1 + of2 • v2) / (√ (u1 • u2) • √ (v1 • v2)).
    • Als u in een computergrafiekprogramma werkt, zult u zich waarschijnlijk alleen zorgen maken over de richting van de vectoren en niet over hun lengte. Volg deze stappen om de vergelijkingen te vereenvoudigen en uw programma te versnellen:
    • Normaliseer elke vector zodat de lengte 1 is. Om dit te doen, deelt u elke component van de vector op lengte.
    • Neem het scalaire product van de genormaliseerde vectoren in plaats van de originele vectoren.
    • Omdat de lengte gelijk is aan 1, laat u de termen van de lengte buiten uw vergelijking. Je laatste vergelijking voor de hoek is bogen (of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}).
  • Op basis van de cosinusformule kunnen we snel uitvinden of de hoek acuut of stom is. Begin met cosθ = (of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}• v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}) / (||of→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}|| ||v→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}||):
  • De linker- en rechterzijde van de vergelijking moeten hetzelfde teken hebben (positief of negatief).
  • Omdat de lengten altijd positief zijn, moet de cosθ hetzelfde teken hebben als het scalaire product.
  • Als het scalaire product positief is, is de cosθ dus positief. We bevinden ons in het eerste kwadrant van de eenheidscirkel, met θ < π / 2 of 90º. De hoek is scherp.
  • Als het scalaire product negatief is, is de cosθ negatief. We bevinden ons in het tweede kwadrant van de eenheidscirkel, met π / 2 < θ ≤ π of 90º < θ ≤ 180º. De hoek is stom.
    • Delen op sociale netwerken:

    Verwant
    Hoe te converteren van raster naar vectorHoe te converteren van raster naar vector
    Hoe een vector afbeelding te maken met Vector MagicHoe een vector afbeelding te maken met Vector Magic
    Hoe het gebied van een parallellogram te berekenenHoe het gebied van een parallellogram te berekenen
    Hoe het moment te berekenenHoe het moment te berekenen
    Hoe de afgelegde afstand van een object te berekenen met behulp van vectorkinematicaHoe de afgelegde afstand van een object te berekenen met behulp van vectorkinematica
    Hoe de Fourier-transformatie van een functie te berekenenHoe de Fourier-transformatie van een functie te berekenen
    Hoe een vector in zijn componenten te ontledenHoe een vector in zijn componenten te ontleden
    Hoe het vectorproduct van twee vectoren te vindenHoe het vectorproduct van twee vectoren te vinden
    Hoe de grootte van een vector te vindenHoe de grootte van een vector te vinden
    Hoe loodrechte vectoren in twee dimensies te vindenHoe loodrechte vectoren in twee dimensies te vinden
    » » Hoe de hoek tussen twee vectoren te vinden
    © 2021 emkiset.ru