Hoe de Fourier-transformatie van een functie te berekenen

Fourier-transformaties kunnen eenvoudig worden vastgelegd als bepaalde stappen worden gevolgd met een zorgvuldig georganiseerd ritme. De Fourier-transformaties vormen de basis van vele delen van de moderne beschaving. Deze omvatten mobiele communicatie en digitale fotografie, lasers en optica. De Fourier-transformatie is vertakt in andere hulpmiddelen, zoals discrete Fourier-transformaties, wavelets (waarvan bekend is dat ze worden gebruikt in JPeg- en MPeg-bestanden), patroonherkenning, financiën, medische scans en vele andere toepassingen.

stappen

WikiHowFou01.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Leer wat een periodieke functie is. Een periodieke functie herhaalt zijn vorm in een bekend tijdsinterval. Dit is, f ( t) = f ( t + nT), waarin n is een geheel getal.
Deze intervallen worden perioden genoemd. In de vorige relatie, T Het is de periode.

Leer het basisidee van de Fourier-transformatie in uw eigen taal.

Elke periodieke functie kan worden ontbonden, het kan worden geschreven in termen van een bepaald aantal basis-sinusoïdefuncties met eenvoudige perioden.

Elke sinusoïde functie heeft de frequentie van een geheel getal dat een veelvoud van de basisfrequentie is.

WikiHowFou02.jpg" class ="afbeelding lightbox">

De bovenstaande vergelijking zegt dat elke periodieke functie kan worden geschreven of uitgebreid als de totale som van:

Een constante waarde, 1/2naar₀, ook wel de DC-waarde genoemd, en een aantal sinusoïdale functies. Afhankelijk van de oorspronkelijke functie, kan een deel van de uitbreiding nul zijn.

ω₀ is de basiscirkelfrequentie die eenvoudig kan worden berekend uit de basisperiode T.

Het blijft alleen nog om te berekenen naar₀ en een formule die het geheel creëert naar_n en het geheel b_n. U doet dit door de orthogonaliteitseigenschap van de sinusoïdefuncties te gebruiken.

Leer de betekenis van functies "orthogonale". De orthogonale functies staan loodrecht op elkaar. Dit betekent dat, als je twee functies hebt, laten we zeggen f ( t) en g ( t), van een set van hen, dan:

WikiHowFou03.jpg" class ="afbeelding lightbox">

orthogonaliteit

Sinusoïde functies zijn een vergelijkbare groep orthogonale functies.

Vergelijk dit met het basisbegrip van loodrechte vectoren, waarbij het scalaire product gelijk is aan nul. Het scalaire product is de som van de componentproducten in paren van twee vectoren. Hier moet in plaats van de som een integraal berekend worden.

Ken het verschil tussen een "vector" en a "fasor".

Een vector draagt een punt in een rechte lijn naar een ander punt.

Een phasor roteert een vector rond een punt met een bepaalde cirkelvormige frequentie ω. Een fasor is een roterende vector.

WikiHowFou07.jpg" class ="afbeelding lightbox" title ="Roterende vector">

Merk op dat wanneer een vector met vaste lengte rond een punt draait, de projectie, de schaduw op de ware as, geleidelijk verandert van een maximale waarde in nul en vervolgens in een maximaal negatief getal en weer terug naar nul en terug naar een maximale positieve waarde.

De lengte van de projectie van de roterende vector, gearceerd op de imaginaire as, verandert op een sinusoïdale manier.

WikiHowFou05.jpg" class ="afbeelding lightbox" title ="Fourier-serie in complexe vorm">

Titel afbeelding Fourier-reeks in complexe vorm

Het concludeert dat een sinusoïde kan worden geschreven als een fasor en op deze manier is het gemakkelijker om een Fourier-reeks te hanteren. Vergelijk dit met de sinusoïdale vorm. Alle zorgen over naar₀, naar_n en b_n Ze zijn verwijderd. Er is maar één factor naar_k dat moet worden berekend. Dit wordt gedaan door een eenvoudige integraal van te berekenen f ( t) die alle coëfficiënten op hetzelfde moment levert.

Interpreteer de uitbreiding voor f ( t). Wat is niet bekend in deze uitbreiding?

U moet een oneindig aantal factoren berekenen naar_k.

Alle factoren naar_k kan eenvoudig worden berekend uit de integratie van f ( t) om als resultaat daarvan de hele set te geven.

In plaats van de uitdrukking "reeks", de notatie {a_k }.

{a_k } staat bekend als het spectrum van f ( t).

f ( t) is eigenlijk de synthese van een oneindig aantal fasers van verschillende lengtes, roterend met frequenties die in harmonie zijn met de basisfrequentie ω₀ van f ( t) in beide richtingen, met de klok mee en tegen de klok in, sinds k dwaalt tussen negatieve hele getallen en positieve.

Bekijk het paar formules als een transformatie in plaats van als de uitbreiding van een reeks. Wanneer je dat hebt gedaan f ( t), dan heb je naar_k. En omgekeerd, als je dat hebt gedaan naar_k, je zult krijgen f ( t). De waarden van naar_k zijn de getransformeerde f ( t). De waarde van f ( t) is de inverse transformatie van naar_k. Dit is geschreven als:

WikiHowFou06-1.jpg" class ="afbeelding lightbox" title ="Fourier Pair">

WikiHowFou08-3.jpg" class ="afbeelding lightbox" title ="noot">

Let op: het kan lijken dat er twee zijn domeinen. f ( t) zit in het tijdsdomein, maar de factoren naar_k ze bevinden zich in het domein van gehele getallen. Daarom transformeert de Fourier-uitbreiding het ene domein in het andere en omgekeerd.

Om deze reden wordt er gezegd dat dit een getransformeerde is "continu in de tijd".

Mensen die golven bestuderen, gebruiken een oscilloscoop om de continue golf in de tijd te observeren en gebruiken een spectrumanalysator om de lijnen of spectra van de betreffende golf te observeren.

WikiHowFou09-1.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Zie het meest voorkomende voorbeeld. Dit is een rechthoekige jaloezie die regelmatig opent en sluit. Of het kan een klok zijn door regelmatig een tijdstempel op een evenement te plaatsen. Het is een trein van pulsen van een vaste duur.

Dit is het eenvoudigste voorbeeld dat men kan berekenen met behulp van secundaire calculuskennis, aangezien binnen de integraal, f ( t) is gelijk aan één voor een deel en gelijk aan nul voor andere delen, en je moet de integraal berekenen van een exponentiële functie, die onafhankelijk is van de coëfficiënt. Op dat niveau ben je bekend met het omzetten van een complexe exponentiële functie in een sinusoïde. Wat overblijft, is wat een functie is sinc. eenvoudigweg sync ( x) = zonder ( x) / x. Dit wijzigt de schaal van een sinusoïdale functie totdat deze de hoek ervan bereikt, vergelijkbaar met een percentage.

WikiHowFou10.jpg" class ="afbeelding lightbox">

De synchronisatiefunctie als de curve

Teken de curve van |naark | om hun pijnlijke sprongen te waarderen.

elk "kwab" De synchronisatiefunctie is gevuld met een bepaald aantal spectraallijnen.

Maak elke puls van de "trein" smaller zijn, vergroot het aantal lijnen in het spectrum, en het ziet er dichter uit en lijkt alsof het eigenlijk een continue synchronisatiefunctie is en niet langer een discrete.

Merk op dat u nu de uitbreiding van de Fourier-reeks van een periodieke functie observeert als een transformatie met twee domeinen. Wat nog moet worden opgemerkt, is wat de transformatie van een niet-periodieke functie is.

WikiHowFou11.jpg" class ="afbeelding lightbox" title ="Fourier-serie in complexe vorm">

Ratificeer uw verwachting dat de uitbreiding van een niet-periodieke functie de vorm zal aannemen van een integraal in plaats van een som.

Je hebt gelijk dat dit het is Fourier-integraal in tegenstelling tot de Fourier-serie.

Daarom kan de Fourier-transformatie voor continue functies in de tijd een Fourier-reeks of een Fourier-integraal zijn.

WikiHowFou12.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Overweeg een enkele rechthoekige puls. Je kunt die puls zien als een rechthoekige blind maar één keer opent en sluit. Of als een stappenmotor wordt ingeschakeld en vervolgens wordt uitgeschakeld.

Delen op sociale netwerken:

Verwant