Hoe een rationele functie in kaart te brengen

Een rationele functie is een vergelijking die de vorm heeft y = N (

Inhoud

Stappen
Tips

x) / D (x), waarbij N en D polynomen zijn. Proberen om een exacte grafiek van een van hen met de hand te tekenen, omvat een uitgebreide beoordeling van veel van de belangrijkste onderwerpen van de middelbare school, van elementaire algebra tot differentiële calculus. Bekijk het volgende voorbeeld: y = (2x - 6x + 5) / (4x + 2).

stappen

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 1

Zoek de kruising met en." Alleen gelijk aan x = 0. Alles behalve de constante termen verdwijnt, verlaat en = 5/2. Dit uitdrukken als een coördinatenpaar, (0, 5/2) is een punt in de grafiek. Grafiek het punt.

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 2

Zoek de horizontale asymptoot. verdelen de noemer tussen de teller om het gedrag van te bepalen en voor hogere en absolute waarden van x. In dit voorbeeld laat de divisie dat zien y = (1/2)x - (7/4) + 17 / (8x + 4). Voor grote positieve of negatieve waarden van x, 17 / (8x + 4) nadert nul en de grafiek nadert de lijn y = (1/2)x - (7/4). Met behulp van een gestippelde of zeer dunne lijn wordt de volgende regel geplot.

Als het graad van de teller is minder dan de noemer, het kan niet worden gedeeld en de asymptoot blijft zo y = 0

Als deg (N) = deg (D), is de asymptoot een horizontale lijn van het quotiënt van de hoofdcoëfficiënten.

Als deg (N) = deg (D) + 1, is de asymptoot een lijn waarvan de helling het quotiënt van de hoofdcoëfficiënten is.

Als deg (N) > deg (D) + 1, dan voor grote waarden van |x |, en het gaat snel naar positieve of negatieve oneindigheid als een kwadratische, kubieke of grotere polynomiale graad. In dit geval is het waarschijnlijk niet de moeite waard om het deelquotiënt nauwkeurig te plotten.

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 3

Zoek de nullen. Een rationale functie heeft een nul als de teller nul is, dus is deze gelijk aan N (x) = 0. In het voorbeeld, 2x - 6x + 5 = 0. De discriminant van deze kwadratische is b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Omdat de discriminant negatief is, N (x), en bijgevolg f (x), heeft geen echte wortels. De grafiek overschrijdt nooit de as x. Als u een nul vindt, moet u die punten aan de grafiek toevoegen.

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 4

Zoek de verticale asymptoten. Een verticale asymptoot vindt plaats wanneer de noemer nul is. Door 4 te matchenx + 2 = 0 geeft je de verticale lijn x = -1/2. Grafiek elke verticale asymptoot met een zeer dunne of stippellijn. Als een waarde van x doet beide N (x) = 0 als D (x) = 0, er kunnen daar al dan niet verticale asymptoten zijn. Dit is raar, maar zie het advies van wat te doen als dit zou moeten gebeuren.

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 5

Controleer de verspilling van de divisie in stap 2. Wanneer is het positief, negatief of nul? In het voorbeeld is de teller van de rest 17, wat altijd positief is. De noemer, 4x + 2, is positief aan de rechterkant van de verticale asymptoot en negatief aan de linkerkant. Dit betekent dat de grafiek de lineaire asymptoot hierboven benadert voor grote positieve waarden van x en hieronder voor grote negatieve waarden van x. Sinds 17 / (8x + 4) kan nooit nul zijn, deze grafiek snijdt nooit de lijn y = (1/2)x - (7/4). Voeg nu niets toe aan de grafiek, maar houd rekening met deze conclusies voor later.

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 6

Vind de lokale doelen. Een lokaal eindpunt kan voorkomen wanneer N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0. In het voorbeeld, N `(x) = 4x - 6 en D `(x) = 4. N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = (4x - 6) (4x + 2) - (2x - 6x + 5) * 4 = 0. Wanneer u het uitvouwt, groepeert en deelt door 4, is het resultaat als volgt: x + x - 4 = 0. De kwadratische formule heeft een wortel dichtbij x = 3/2 en x = -5/2. (Deze verschillen over de exacte waarde van 0,06, maar onze graphics zal niet nauwkeurig genoeg om zorgen over dat soort details zijn. Door te kiezen voor een fatsoenlijke rationele benadering, zal de volgende stap gemakkelijker.)

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 7

Zoek de waarde van en voor elk lokaal einde. Evalueer de waarden van x van de vorige stap terug naar de oorspronkelijke rationale functie om de bijbehorende waarde van te vinden en. In het voorbeeld, f (3/2) = 1/16 en f (-5/2) = -65/16. Voeg deze punten (3/2, 1/16) en (-5/2, -65/16) toe aan de grafiek. Omdat we bij de vorige stap geschatte waarden gebruiken, zijn dit niet de exacte maxima en minima, maar ze liggen er heel dicht bij. (We weten dat (3/2, 1/16) zeer dicht bij de lokale minimumwaarde ligt. en het is altijd positief X > -1/2 en we vinden een waarde zo klein als 1/16, dus althans in dit geval is de fout waarschijnlijk kleiner dan de dikte van de regel.)

Titel afbeelding Graph a Rational Function Step 8

Verbind de stippen en breidt de grafiek via de bekende punten zorgvuldig uit naar de asymptoten, en zorg ervoor dat u uw nadering vanuit de juiste richting maakt. Pas op dat u de as niet kruist x behalve op punten in stap 3 intersectes horizontale of lineaire asymptoot uitzondering van de punten in stap 5. Geen verandering van toenemende helling bij afnemende behalve bij de eindpunten in stap boven.

tips

In zeldzame gevallen kunnen de teller en de noemer een gemeenschappelijke factor hebben die niet constant is. Als u de stappen volgt, wordt deze weergegeven als een nul en een verticale asymptoot op dezelfde plaats. Omdat dit onmogelijk is, is wat er gebeurt een van de volgende gevallen:

De nul in de N (x) heeft een multipliciteit groter dan nul in D (x). De grafiek van f (x) benadert op dit punt nul, maar is daar niet gedefinieerd. Dit wordt aangegeven door een ongevulde cirkel rond het punt.
De nul in de N (x) en nul in D (x) hebben dezelfde veelvoud. De grafiek benadert een punt anders dan nul voor deze waarde van x, maar het is daar niet gedefinieerd. Nogmaals, dit wordt aangegeven door een open cirkel.
De nul in de N (x) heeft een veelvoud van minder dan nul in D (x). Hier is een verticale asymptoot.

Sommige van deze stappen kunnen het oplossen van een polynoom in grotere mate met zich meebrengen. Als u geen exacte oplossingen kunt vinden door middel van factoring, formules of andere middelen, schat dan de oplossing met behulp van numerieke technieken zoals de methode van Newton.

Na deze stappen om meestal ook niet noodzakelijk zijn proeven afgeleide tweede graad of soortgelijke potentieel ingewikkelde methodes om te bepalen of kritische waarden plaatselijke minimale lokale maxima of een van de bovenstaande. Probeer eerst de informatie uit de vorige stappen en een beetje logica te gebruiken.

Als u dit alleen probeert te doen met precalculus-methoden, kunt u de stappen voor het vinden van lokale doelen vervangen door veel extra geordende paren te berekenen (x, y) tussen elk paar asymptoten. Als alternatief, als het je niet uitmaakt hoe het gebeurt, is er geen reden waarom een pre-calculus student de afgeleide van een polynoom niet kan nemen en N `(x) D (x) - N (x) D `(x) = 0.

Delen op sociale netwerken:

Verwant