Hoe Pi te berekenen

Het getal Pi (π) is een van de belangrijkste en meest fascinerende wiskunde. Dit komt overeen met ongeveer 3,14 en is een constante die wordt gebruikt om de omtrek van een cirkel te berekenen uit de straal of diameter. Het is ook een irrationeel getal, wat betekent dat u een oneindig aantal decimalen kunt berekenen die zelfs geen herhalend patroon hebben. Dit maakt het moeilijk, maar niet onmogelijk, om de waarde van Pi nauwkeurig te berekenen.

Inhoud

Stappen

Methode 1bereken de waarde van pi met behulp van de metingen van een cirkel
Methode 2bereken de waarde van pi met oneindige reeksen
Methode 3bereken de waarde van pi met behulp van het buffon-naaldprobleem
Methode 4bereken pi met een limiet
Methode 5gebruik de arcsine-functie of inverse sinusfunctie

Tips

stappen

Methode 1
Bereken de waarde van Pi met behulp van de metingen van een cirkel

Zorg ervoor dat je een perfecte cirkel gebruikt. Deze methode werkt niet met ellipsen, ovalen of een ander figuur dan een perfecte cirkel. Een cirkel wordt gedefinieerd als alle punten in een vlak die zich op dezelfde afstand van een enkel middelpunt bevinden. De deksels van de potten zijn perfect voor het tekenen van cirkels. Hoewel je de geschatte waarde van Pi alleen kunt berekenen, omdat je voor het verkrijgen van de exacte waarden van Pi een instrument met een zeer dunne punt nodig hebt om de cirkel te tekenen. Zelfs de meest gelieerde penpunt is enorm als het gaat om het verkrijgen van de exacte waarde van Pi.

Meet de omtrek van de cirkel zo nauwkeurig mogelijk. De omtrek is de lengte van de contour van de cirkel. Omdat de omtrek rond is, is het enigszins moeilijk te meten (daarom is het getal Pi zo belangrijk).

Wikkel de cirkel om met een zo stevig mogelijk touw. Markeer het touw op het punt waar het de cirkel omcirkelt en meet vervolgens het touw met behulp van een liniaal.

Meet de diameter van de cirkel. De diameter loopt door de cirkel van de ene naar de andere kant door het middelpunt van de cirkel.

Gebruik de formule om Pi te vinden. De omtrek van een cirkel wordt gevonden met de formule C = π * d = 2 * π * r, dus de waarde van Pi is gelijk aan de omtrek van de cirkel gedeeld door de diameter. Voer de cijfers in de rekenmachine in, het resultaat moet ongeveer 3,14 zijn.

Voor nauwkeurigere resultaten herhaalt u het proces met verschillende cirkels en neemt u vervolgens een gemiddelde van de resultaten. De metingen zijn misschien niet perfect in een cirkel, maar na verloop van tijd zul je een gemiddelde krijgen dat erg dicht bij de waarde van Pi ligt.

Methode 2
Bereken de waarde van Pi met oneindige reeksen

Het maakt gebruik van de Gregory-Leibniz-serie. Wiskundigen hebben verschillende wiskundige reeksen gevonden die, indien oneindig herhaald, de waarde van Pi nauwkeurig kunnen berekenen met een groot aantal decimalen. Sommige van deze series zijn zo complex dat supercomputers nodig zijn om ze te verwerken. Een van de eenvoudigste is echter de Gregory-Leibniz-serie. Hoewel het niet erg efficiënt is, komt het steeds dichter bij de waarde van Pi in elke herhaling, waardoor Pi precies met vijf decimalen en 500.000 herhalingen wordt geproduceerd. Dit is de formule die u moet toepassen:

π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15). ..
Neem er vier, trek er vier af en deel door drie. Voeg dan 4 toe en deel door 5. Trek nu 4 af en deel door 7. Ga afwisselend door optellen en aftrekken van breuken met een teller van vier en een noemer die gelijk is aan elk volgend oneven getal. Hoe vaker je de serie herhaalt, hoe dichter je bij de waarde van Pi komt.

Het maakt gebruik van de Nilakantha-serie. Dit is een andere oneindige reeks die dient om Pi te berekenen en dat is ook vrij gemakkelijk te begrijpen. Hoewel het ingewikkelder is dan de formule van Gregory-Leibniz, convergeert het veel sneller in Pi-waarden.

π = 3 + 4 / (2 * 3 * 4) - 4 / (4 * 5 * 6) + 4 / (6 * 7 * 8) - 4 / (8 * 9 * 10) + 4 / (10 * 11 * 12) - (4 / (12 * 13 * 14) ...

Neem voor deze formule drie en begin afwisselend optellen en aftrekken van breuken met een teller van 4 en een noemer die het product is van drie opeenvolgende gehele getallen die toenemen met elke nieuwe breuk. Elke nieuwe breuk begint met het grootste geheel dat in de vorige breuk werd gebruikt. Herhaal de reeks zelfs maar een paar keer en je zult zien dat het resultaat dichtbij genoeg is voor Pi.

Methode 3
Bereken de waarde van Pi met behulp van het Buffon-naaldprobleem

Probeer dit experiment om de waarde van Pi te berekenen door bevroren worsten te gooien. Het blijkt dat Pi ook een belangrijke rol speelt in een experiment genaamd "het Buffon-naaldprobleem", dat probeert de waarschijnlijkheid te bepalen dat uniforme, willekeurig gegooide langwerpige voorwerpen tussen of via een reeks parallelle lijnen op de grond terechtkomen. Als de afstand tussen de lijnen gelijk is aan de lengte van de gegooide objecten, kan het aantal keren dat de objecten over de lijnen komen (na een groot aantal lanceringen) worden gebruikt om de waarde van Pi te berekenen. Bekijk de link van het WikiHow-artikel bovenaan om een leuke variabele van dat experiment met bevroren worsten te zien.

Wetenschappers en wiskundigen hebben nog niet berekend hoe de exacte waarde van Pi moet worden berekend, omdat het niet mogelijk is geweest een materiaal te vinden dat dun genoeg is om nauwkeurige berekeningen te verkrijgen.

Methode 4
Bereken Pi met een limiet

Kies eerst een groot aantal. Hoe groter het is, hoe nauwkeuriger uw berekening zal zijn.

Voer vervolgens uw nummer (dat we x zullen noemen) in deze formule in om Pi te berekenen: x * sin (180 / x). Om het te laten werken, moet je ervoor zorgen dat je rekenmachine in graden is geprogrammeerd. De reden waarom het limiet wordt genoemd, is dat het resultaat "beperkt" is tot Pi. Naarmate u uw aantal x verhoogt, komt het resultaat steeds dichter bij de waarde van Pi.

Methode 5
Gebruik de arcsine-functie of inverse sinusfunctie

Kies een willekeurig getal tussen -1 en 1. Dit komt omdat de arcsine-functie niet gedefinieerd is voor waarden groter dan 1 of kleiner dan -1.

Voer het nummer in dat u hebt gekozen in de volgende formule en het resultaat is een benadering van Pi.

pi = 2 * (Arcsin (sqrt (1 - x ^ 2))) + abs (Arcsin (x)).

Arcsin is het omgekeerde van de sinus in radialen.

Sqrt betekent vierkantswortel.

Abs betekent absolute waarde.

x ^ 2 is een exponent, in dit geval x kwadraat.

tips

Het berekenen van de waarde van Pi is leuk en uitdagend, maar het berekenen van de waarde van veel decimalen is contraproductief. Astrofysici zeggen dat ze slechts 39 decimalen van Pi hoeven te gebruiken om kosmologische berekeningen uit te voeren die nauwkeurig genoeg zijn voor de grootte van een atoom.

Delen op sociale netwerken:

Verwant