Hoe een Apollonian zeef te maken

Een Apollonius-zeef is een soort afbeelding fractal

Inhoud

Stappen
Deel 1
Deel 2

die is gevormd uit een verzameling kleinere en kleinere cirkels die zich binnen een grote cirkel bevinden. Elke cirkel van een Apollonius-zeef is die de aangrenzende cirkels raken, met andere woorden, die contact maken in oneindig kleine punten (oneindig klein). De naam is te danken aan de Griekse wiskundige Apollonius van Perga. Dit type fractal kan (met de hand of met de computer) worden getekend met een redelijke mate van complexiteit om een mooi en opvallend beeld te vormen. Bekijk vervolgens de eerste stap om te beginnen.

stappen

Deel 1

Begrijp de belangrijkste concepten

Als je alleen geïnteresseerd bent in tekenen een zeef van Apollonius, het is niet nodig om de wiskundige principes achter de fractals nauwkeurig te onderzoeken. Als u echter een beter begrip van het onderwerp wilt hebben, is het belangrijk om de definities van verschillende concepten te begrijpen die we zullen gebruiken als we erover praten.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 1

Definieer de belangrijkste termen. De volgende termen worden gebruikt in de volgende beschrijvingen:

Apolonio-zeef: een van de vele namen waarmee we een soort fractal kennen die bestaat uit een reeks cirkels die zijn ingesloten in een grote cirkel en die de aangrenzende cirkels raken. Het is ook bekend als "Leibniz-verpakking" of "Apollonian-verpakking".
Radius van een cirkel: de afstand van het midden van een cirkel tot de rand. Gewoonlijk wordt de variabele toegewezen r.
Kromming van een cirkel: de positieve of negatieve inverse van de straal, of ± 1 / r. De kromming is positief bij het werken met de uitwendige kromming van de cirkel en negatief bij het werken met de interne kromming.
Raaklijn: een term die wordt toegepast op lijnen, vlakken en figuren die elkaar op een oneindig klein punt snijden. Toegepast in een Apollonius-zeef, verwijst dit naar het feit dat de cirkels slechts op een enkel punt contact maken met andere aangrenzende cirkels. Houd er rekening mee dat er geen kruispunten zijn, dat de raaklijnen elkaar niet overlappen.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 2

De stelling van Descartes begrijpen. Het is een formule die handig is voor het berekenen van de grootte van de cirkels van een Apollonius-zeef. Als we de krommingen (1 / r) van drie cirkels definiëren, ofwel a, b en c, respectievelijk, de stelling vertelt ons dat de kromming van de cirkel (of cirkels) die de drie raken, die we definiëren als d, is: d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel van (a × b + b × c + c × a)).

Voor onze doeleinden zullen we in het algemeen alleen de verkregen respons gebruiken door het plusteken vóór de vierkantswortel te plaatsen (met andere woorden, ... + 2 (vierkantswortel (...).) Voor nu is het voldoende om te weten dat de subtractieve vorm van de vergelijking heeft gebruik in andere gerelateerde taken.

Deel 2

Bouw de zeef van Apolonio

Apollonius zeven hebben de vorm van prachtige fractale arrangementen van steeds kleinere cirkels. Wiskundig gezien hebben ze een oneindige complexiteit, maar als je een computer tekenprogramma of traditionele tekengereedschappen gebruikt, zul je vroeg of laat op het punt komen dat het onmogelijk is om kleinere cirkels te tekenen. Houd er rekening mee dat hoe nauwkeuriger uw kringen zijn, hoe beter ze op uw scherm passen.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 3

Verzamel uw digitale of analoge tekengereedschappen. In de volgende stap zullen we onze eigen eenvoudige Apollonius-zeef maken. Het is mogelijk om het met de hand of met de computer te doen. In elk geval zul je perfect ronde cirkels willen tekenen. Dit is erg belangrijk, omdat elke cirkel binnen de zeef van Apollonius perfect raakt aan de aangrenzende cirkels. Als de cirkels enigszins verkeerd zijn uitgelijnd, kunnen ze je uiteindelijke product "verpesten".

Als je het op een computer doet, heb je een programma nodig waarmee je eenvoudig vanuit een centraal punt cirkels met een vaste straal kunt tekenen. Gfig is een tekenuitbreiding met vectoren voor het gratis beeldbewerkingsprogramma GIMP en je kunt het ook gebruiken met een verscheidenheid aan andere tekenprogramma`s (zie het materiaalgedeelte voor de relevante links). Je hebt misschien ook een rekenmachinetoepassing en een tekstverwerkingsprogramma of een echte blocnote nodig om naar bochten en radii te wijzen.
Als u het met de hand doet, hebt u een rekenmachine (wetenschappelijk of bij voorkeur grafisch), een potlood, een kompas, een liniaal (bij voorkeur een millimeterschaal, ruitjespapier en een notitieblok nodig om aantekeningen te maken).

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 4

Begin met een grote cirkel. Je eerste taak is eenvoudig, teken gewoon een geweldige perfect ronde cirkel. Hoe groter de cirkel, hoe complexer uw scherm zal zijn. Dus probeer het zo groot te maken als het papier toelaat of zo groot dat het gemakkelijk kan worden weergegeven in een venster van je tekenprogramma.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 5

Maak een kleine cirkel in het origineel en raak aan de zijkant. Trek dan nog een cirkel binnenin de eerste, deze moet kleiner zijn dan het origineel, maar nog steeds vrij groot. De exacte grootte van de tweede cirkel hangt van u af, er is geen juiste maat. Voor onze doeleinden gaan we echter onze tweede cirkel tekenen, zodat deze precies de helft van onze grote buitenste cirkel bereikt. Met andere woorden, we gaan onze tweede cirkel tekenen, zodat het middelpunt ervan de helft van de straal van de grote cirkel is.

Vergeet niet dat in de zeven van Apollonius alle aangrenzende cirkels elkaar raken. Als je een kompas gaat gebruiken om je cirkels met de hand te tekenen, reproduceer je dit effect door het scherpe punt van het kompas op de helft van de straal van de grote buitencirkel te plaatsen, en pas je je potlood zo aan dat raak gewoon de rand van de grote cirkel aan en teken vervolgens uw kleine binnenste cirkel.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 6

Trek een identieke cirkel "aan de andere kant" van de kleine binnenste cirkel. Vervolgens gaan we een andere cirkel tekenen aan de andere kant van de eerste. Deze cirkel moet tangentieel zijn voor de grote buitenste cirkel en de kleine binnenste cirkel, wat betekent dat je twee kleine binnenste cirkels precies in het midden van de grote buitenste cirkel moeten aanraken.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 7

Pas de stelling van Descartes toe om de grootte van je volgende cirkels te vinden. Laten we stoppen met tekenen voor een moment. Nu we drie cirkels in onze zeef hebben, kunnen we de Descartes-stelling gebruiken om de straal van de volgende cirkel te vinden die we gaan tekenen. Denk eraan dat de stelling van Descartes dat is d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel (a × b + b × c + c × a)), waar a, b en c zijn de krommingen van je drie cirkels die elkaar raken. Dus om de straal van onze volgende cirkel te vinden, moeten we de kromming van elk van de cirkels vinden die we tot nu toe hebben en op deze manier de kromming van onze volgende cirkel vinden, dan zullen we de straal ervan vinden.

We gaan de straal van onze buitenste cirkel definiëren als 1. Omdat de andere cirkels erin zitten, laten we werken met zijn kromming binnen (in plaats van de buitenkromming), en bijgevolg weten we dat de kromming negatief is. - 1 / r = -1/1 = -1. De kromming van de grote cirkel is -1.

De radii van de kleine cirkels zijn de helft van de lengte van de straal van de grote cirkel, of met andere woorden, 1/2. Omdat deze cirkels elkaar raken en de grote cirkel raken met hun buitenzijden, betekent dit dat we met de krommingen werken buiten, daarom zijn hun krommingen positief, 1 / (1/2) = 2. De kromming van de kleine cirkels is 2 voor beide gevallen.

Nu, door de vergelijking van de stelling van Descartes weten we dat a = -1, b = 2 en c = 2. Laten we de waarde van d vinden:

d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel (a × b + b × c + c × a))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (vierkantswortel (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

d = -1 + 2 + 2 ± 2 (vierkantswortel (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

d = -1 + 2 + 2

d = 3. De kromming van onze volgende cirkel is 3. Aangezien 3 = 1 / r, is de straal van onze volgende cirkel 1/3.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 8

Maak je volgende reeks kringen. Gebruik de waarde van de straal die u zojuist hebt gevonden om uw volgende twee cirkels te tekenen. Vergeet niet dat deze raaklijnen moeten zijn voor de cirkels waarvan je de krommingen hebt gebruikt voor a, b en c in de stelling van Descartes. Met andere woorden, ze zullen de oorspronkelijke cirkel en de tweede reeks cirkels raken. Om ervoor te zorgen dat deze cirkels tangentieel zijn voor de drie cirkels, moet u ze tekenen in een open ruimte aan de boven- en onderkant van het gebied binnen uw oorspronkelijke grote cirkel.

Vergeet niet dat de stralen van deze cirkels gelijk zijn aan 1/3. Meet 1/3 vanaf de rand van de buitencirkel en teken dan je nieuwe cirkel. Dit moet tangentieel zijn voor de drie cirkels eromheen.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 9

Ga op deze manier verder om cirkels toe te voegen. Omdat ze fractals zijn, zijn Apollonius-zeven oneindig complex. Dit betekent dat je steeds kleinere cirkels naar wens kunt toevoegen. Je wordt alleen beperkt door de precisie van je gereedschappen (of, als je een computer gaat gebruiken, door in te zoomen op je tekenprogramma). Elke cirkel, hoe klein ook, moet tangentieel zijn voor de andere drie cirkels. Als u de volgende cirkels van uw scherm wilt tekenen, voert u de krommingen in van de drie cirkels waaraan deze binnen de Descartes-stelling tangentieel zijn. Gebruik vervolgens je antwoord (dat is de straal van je nieuwe cirkel) om je cirkel nauwkeurig te tekenen.

Houd er rekening mee dat we ervoor hebben gekozen om een symmetrische zeef te tekenen, zodat de straal van een cirkel dezelfde is als de cirkel die "aan de andere kant" is. Merk echter op dat niet alle Apollonius-zeven symmetrisch zijn.

Laten we nog een voorbeeld doen. Laten we zeggen dat we na het tekenen van onze laatste reeks cirkels nu cirkels willen tekenen die raakvlakken hebben met ons derde spel, het tweede spel en de grote buitencirkel. De krommingen van deze cirkels zijn respectievelijk 3, 2 en -1. Laten we zeggen dat we deze getallen invoeren in de stelling van Descartes, met a = -1, b = 2 en c = 3:

d = a + b + c ± 2 (vierkantswortel (a × b + b × c + c × a))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (vierkantswortel (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (vierkantswortel (-2 + 6 + -3))

d = -1 + 2 + 3 ± 2 (vierkantswortel (1))

d = -1 + 2 + 3 ± 2

d = 2, 6. We hebben twee antwoorden! Omdat we echter weten dat onze volgende vierkantswortel kleiner zal zijn dan alle andere cirkels waaraan het raakvlak is, is alleen de kromming van 6 (en daarom een straal van 1/6) Het is logisch.

Ons andere antwoord, 2, verwijst eigenlijk naar onze hypothetische cirkel aan de andere kant van het tangentiële punt van onze tweede en derde cirkel. Deze cirkel dit is tangentieel aan beide cirkels en ook aan de grote buitenste cirkel, maar het zou de cirkels kruisen die we al getekend hebben, dus we kunnen het negeren.

Titel afbeelding Create an Apollonian Gasket Step 10

Probeer als uitdaging een asymmetrische Apollonius-zeef te maken door de grootte van uw tweede cirkel te wijzigen. Alle Apollonius-zeven beginnen op dezelfde manier, met een grote buitenste cirkel die als de rand van de fractal fungeert. Er is echter geen reden waarom uw tweede cirkel noodzakelijkerwijs is moet de halve straal van de eerste hebben, we kiezen ervoor om dit te doen omdat het eenvoudig en gemakkelijk te begrijpen is. Probeer voor de lol een zeef te starten met de tweede cirkel van een andere grootte. Dit brengt je naar spannende verkenningspaden.

Nadat je je tweede cirkel hebt getekend (ongeacht de grootte), zou je volgende actie moeten zijn om een of meer cirkels te tekenen die elkaar en de grote buitenste cirkel raken. Er is ook geen juiste manier om dit te doen. Vervolgens kunt u de stelling van Descartes gebruiken om de stralen van een van de volgende cirkels te bepalen, zoals hierboven weergegeven.

Delen op sociale netwerken:

Verwant