Hoe een wortelplaats in een systeem te tekenen

Een systeem met feedback wordt stabiel wanneer de vergelijkingen die dit systeem beschrijven wortels hebben die bepaalde patronen volgen. Anders wordt het systeem instabiel. Een voorbeeld van een dergelijk onstabiel systeem is wanneer de microfoons piepgeluiden uitzenden. Een deel van de stem van de spreker wordt teruggevoerd naar de microfoon en versterkt in de versterkers en dan terug naar de luidsprekers en terug in de microfoon, waardoor een lus wordt gecreëerd die zich steeds herhaalt totdat de versterkers verzadigen en een hoge toon produceren.

Inhoud

Stappen
Methode 1
Methode 2

Feedback houdt het systeem soms in de marge van instabiliteit en begint het systeem te laten oscilleren. Dit kan handig zijn in elektronica en elders, om een continue oscillatie te hebben - in een apparaat zoals een klok. Maar als de marge niet zorgvuldig wordt berekend, kan een kleine verandering het systeem verwoesten tot het wordt vernietigd. Dit wordt bijvoorbeeld gezien wanneer sommige bruggen instorten omdat ze oscillerend worden en vervolgens overgaan in ongebreidelde instabiliteit wanneer mensen, auto`s of treinen over hen heen gaan. Een nieuw gebouwde brug in Londen, open voor voetgangers voor het millennium, bevond zich nabij deze staat op de eerste dag van zijn inauguratie, maar omdat het onder zorgvuldige observatie van de bouwers bleef, was het in staat zichzelf te beheersen en de ramp gebeurde niet. De root locus helpt ingenieurs om de specificatie van hun systemen te voorspellen om aan de stabiliteitscriteria te voldoen. Hoewel de hele academie vol zit met een overvloed aan programma`s om `de plek van de wortels` te tekenen, is het nog steeds fascinerend dat technische stagiairs de conceptuele schets van deze methode kennen.

stappen

Methode 1

voorrondes

Leer dat het eenvoudigste systeem een ingang en een uitgang heeft. Het systeem bevindt zich tussen deze twee. De ingang komt het systeem binnen, dan is het veranderd en dan komt het uit als de uitgang die wordt verwacht. Er wordt een systeem gemaakt om genoemde wijziging te creëren die wordt verwacht voor de uitvoer.

Het toont een systeem in een doos. De ingang komt haar binnen als een pijl en de uitgang verlaat haar als een pijl.

Alles wat het systeem met de invoer doet, wordt de systeemfunctie genoemd.

Alvorens die functie uit te voeren, doet een systeem altijd één van de drie dingen bij zijn ingang,

Deze plaats van wortels wordt de wortellocatie van 180 ° genoemd

Verlaag eenvoudig die invoer. In dit geval wordt gezegd dat de versterkingscoëfficiënt kleiner is dan één (0 < K < 1).

Het houdt het simpelweg op dezelfde waarde. In dit geval wordt gezegd dat de versterkingscoëfficiënt gelijk is aan één (K = 1).

Het verhoogt het gewoon. In dit geval wordt gezegd dat de versterkingscoëfficiënt groter is dan één (K> 1).

Voordat u die functie uitvoert, kan een systeem de invoer omkeren en daarna altijd een van de drie dingen aan de ingang doen,

Deze plaats van wortels wordt de wortelplaats 0 ° genoemd.

Het vermindert simpelweg die omgekeerde invoer. In dit geval wordt gezegd dat de versterkingscoëfficiënt groter is dan minus één (- 1 < K < 0).

Het houdt het gewoon op dezelfde waarde. In dit geval wordt gezegd dat de versterkingscoëfficiënt gelijk is aan min één (K = - 1)

Het verhoogt het gewoon. In dit geval wordt gezegd dat de versterkingscoëfficiënt minder is dan min één (K < - 1)

K wordt "gain" van het systeem genoemd.

Een systeem met feedback heeft een pad van de uitgang naar de ingang en neemt deel en deelt iets van de uitgang naar de ingang.

Onthoud dat een systeem zonder feedback, in technische notatie, is zoals het in de afbeelding wordt getoond. De relatie tussen de uitvoer en de invoer wordt beschreven als de vermenigvuldiging van de invoer X (s) door de functie van het G-systeem (s) om te resulteren in de uitvoer Y (s). Dit is, En (s) = G (s) X (s).

Bewerk het eindresultaat om het resultaat te verkrijgen.

Gebruik dan dezelfde formele notaties als nu. Merk op dat er binnen het kruis (X) een plusteken (+) voor het item en een minteken (-) voor de feedback staat. De uitgang komt en via een feedbackpad verandert het de ingang. Wanneer de uitvoer Y (s) laat de feedback achter, wordt Y (s) door H (s) (dat wil zeggen, Y (s) H (s)), en afgetrokken van de X-invoer (s). Daarom, in werkelijkheid X (s) -Y (s) H (s) gaat naar het systeem. X (s) -Y (s) H (s) gaat naar het systeem, wordt vermenigvuldigd met de functie van het systeem en komt eruit als (X (s) -Y (s) H (s)) G (s). Daarom is de uitvoer Y (s) is echt, En (s) = (X (s) -Y (s) H (s)) G (s)

Bewerk het eindresultaat om het resultaat te verkrijgen.

Merk op dat de straal Y (s) / X (s), wat het ook is, het wordt een overdrachtsfunctie genoemd.

De overdrachtsfunctie zoals in vergelijking 2 staat bekend als de gesloten lus overdrachtsfunctie.

Het product G (s) H (s) in vergelijking 2 staat bekend als de open lus overdrachtsfunctie.

Houd in gedachten dat je een vergelijking kunt hebben, 1 + H (s) G (s) = 0. Deze vergelijking wordt genoemd karakteristieke vergelijking van het systeem.

Herinnert. Alle genoemde functies, inclusief elk van de X (s) of Y (s) op zich zijn functies rationeel van de complexe variabele s.

Onthoud ook dat een functie rationeel complex, is de straal van twee complexe polynomen. Bijvoorbeeld H (s) = n (s) / d (s).

Vergelijk de straal van Y (s) / X (s) in twee systemen, zonder feedback en met feedback, om te weten wat het effect is van feedback in een systeem.

Maak een eenvoudige berekening om uzelf ervan te overtuigen dat de feedbackfunctie kan worden ingeslikt door de invoer, vóór het punt van vergelijking.

Bekijk de eenvoudige feedback. Vaak is in de feedbacklus de feedbackfunctie een eenheid - dat wil zeggen, H (s) = 1.

Schrijf vergelijking 2 hieronder, als,

De afzonderlijke winst K. Het is beter om de versterking van het systeem als een onafhankelijk blok te scheiden. Het klopt dat nu G (s) is niet hetzelfde als de vorige G (s), omdat zijn K-versterking is verwijderd, maar het is handig om dezelfde notatie ervoor te blijven gebruiken, alsof we een blok K en een blok G hadden (s) vanaf het begin.

Schrijf vervolgens vergelijking 3 als,

Merk op dat de noemer de stabiliteit van het systeem bepaalt. Je moet weten wanneer deze noemer nul wordt of de nul nadert op het moment dat de systeemwinst, K, als een parameter verandert. U zou 1 + KG moeten beoordelen (s) = 0. Of G (s) = - 1 / K. Stel dat K> 0 en zoek dan uit wat er gebeurt met symmetrie als K < 0. Voor een volledig begrip moet zelfs in het irrelevante geval K = 0 ook worden besproken.

Bereken de grootte (modulus) en hoek (argument) van G (s). Houd er dus rekening mee dat | G (s) | = 1 / K en / G (s) = 180 °q- waarbij "q" een oneven geheel getal is. Dit symbool / ___ toont de hoek van een complexe functie.

Onthoud dat G (s) is een rationele functie - dat wil zeggen, gelijk aan een polynoom gedeeld door een polynoom, beide in dezelfde variabele "s". daarom

Merk op dat het in het algemeen niet eenvoudig is om wortels te vinden van een polynoom met een graad groter dan drie of vier, en het op te schrijven in zijn root-factoren, zoals in vergelijking 5 is gedaan. Dit is een obstakel bij het tekenen van de plaats van de wortels. Hoe dan ook, voorlopig wordt aangenomen dat elke ontbinding bekend is. Bijgevolg voor een graad polynoom n je hebt n complexe wortels r _ik

Begin met het eenvoudigste systeem. De karakteristieke vergelijking blijkt te zijn s + K = 0. verandering K van 0 omhoog, veranderen s van 0 een - _∞ afstammeling.

Herinnert. Op de middelbare school vroegen ze je om dingen op te lossen zoals het bepalen van een parameter β zodanig dat een kwadratische vergelijking x + x + β = 0 heb twee gelijke wortels. Dit was een basis probleem met de root-site waarvan de parameters zijn ingesteld β. Wat je moet doen is de discriminant berekenen en gelijk aan nul maken om aan de aangegeven voorwaarde te voldoen: Δ = 1 - 4β = 0 en daarom β = 1/4.

Los een vergelijkbare rootplaats op voor het controlesysteem dat wordt weergegeven in de onderstaande terugkoppellus. In plaats van de discriminant, zal de kenmerkende functie worden onderzocht - dit is 1 + K (1 / s (s + 1) = 0. Een manipulatie van deze vergelijking concludeert dat s + s + K = 0.

Stel vragen over K.

Start vanaf K = 0 Je hebt twee echte wortels s = 0 en s = - 1, omdat de karakteristieke vergelijking is s + s = 0

Verhoog K. Je hebt nog steeds twee echte wortels, K = 1/4, waar de twee wortels hetzelfde zullen zijn - dit is het s₁ = s₂ = - 1/2.

toeneemt K> 1/4. De discriminant zal negatief zijn. Je hebt twee denkbeeldige wortels als een complexe conjugatie met elkaar. Maar de echte waarde van beide wortels blijft hetzelfde en gelijk aan - 1/2. toenemen K heeft hier geen effect op - alleen de imaginaire delen worden groter. De wortels werden getrokken in dikke lijnen.

Er zijn twee wortels voor dit kwadratische polynoom en ze zijn definitief samengevoegd op een punt in de reële lijn voor een bepaalde parameterwaarde K waardoor de discriminant gelijk is aan nul en een herhaalde root creëert.

Het gedeelte van de echte lijn tussen deze twee wortels maakt deel uit van de wortellocus.

Dit punt wordt genoemd point-o of vertakkingspunt van de asymptoten van de plaats van wortels.

Tot deze waarde van K het systeem wordt uitgeschakeld zonder overmaat of tekort (het schudt niet voordat het afgaat).

in K = 1/4 het systeem is kritisch gedempt.

Verhoog daarna K het verhoogt alleen het imaginaire deel van de gecreëerde rootconjugatie.

Dat plaatst de vertakking van de root-site loodrecht op de echte regel.

Theoretisch gaat alles langs dit systeem uit, maar met trillen. In de praktijk kan het verhogen van de versterking het systeem instabiel maken. De trillingen kunnen zo aanhoudend zijn dat ze ongewenste frequenties in het systeem veroorzaken, waardoor het systeem zijn materiële kracht verliest. Kleine scheurtjes bereiken bijvoorbeeld catastrofale punten of dynamische vermoeidheid dwingt het. Ontwerpers zijn altijd van plan om een onbeperkte toename in te voorkomen K.

Ken de betekenis van dingen die in het complexe vlak gebeuren. Elk willekeurig punt in het complexe vlak kan worden getoond door een vector, die een lengte en een hoek heeft ten opzichte van de reële lijn.

- r is de root van s + r = 0

er wordt gezegd dat dit het testpunt is om te evalueren - r.

Elke selectie van s op de reële regel wordt "real-line" evaluatie van - r.

Merk op dat het complexe vlak niet is zoals de echte lijn.

In de echte lijn ben je beperkt in de intervallen. Een integraal heeft slechts twee eindpunten die moeten worden geëvalueerd.

In het complexe vlak kun je nergens heen dwalen. Daarentegen moet u een regio selecteren om uw evaluaties te beperken. Zelfs dat is veel. Je beperkt je evaluaties alleen om ze op een bepaalde curve of een bepaald (meestal eenvoudig) pad te maken.

Evalueer het willekeurige testpunt s₁ met betrekking tot de wortel van het polynoom s + 2 = 0. Het is een vector uit de punt van s₁ naar het puntje van r.

Stel dat je een bepaald aantal echte wortels in de echte lijn hebt. Vraag welk deel van de reële lijn op de root plaats valt als de winst k Het varieert van nul tot meer oneindig.

Selecteert elk punt in het koninklijk lijn, wanneer het aantal reële wortels (nullen en polen) rechts van de wortel een oneven nummer (1, 3, 5, ...), dan is dat deel van de huidige regel ook de plaats van wortels.

In de eenvoudige integrator hebben alle punten in het negatieve deel van de reële lijn slechts één wortel aan de rechterkant. Daarom is de volledige negatieve reële lijn de plaats van de wortels.

In het motorbesturingssysteem, alleen die punten van de echte lijn ertussen s = 0 en s = - 1 ze hebben een oneven aantal wortels aan de rechterkant. Daarom alleen het gedeelte tussen s = 0 en s = - 1 het is in de plaats van wortels.

Vergeet niet dat de karakteristieke functie voor de algemene feedbacklus was 1 + G (s) H (s) = 0. Verwijder de winst K waar het ook is, als een afzonderlijke parameter en schrijf de karakteristieke vergelijking, waar F (s) het is een rationele functie - dat wil zeggen, F (s) = N (s) / D (s). Beide N (s) als D (s) het zijn polynomen.

De wortels van N (en), dat wil zeggen, de nullen van F (s) ze zijn een polynoom van graad m.

De wortels van D (s), dat wil zeggen, de polen van F (s) ze zijn een polynoom van graad n.

De karakteristieke functie van de eenvoudige integrator is 1 + K / s = 0.

F (s) = 1 / s.

De karakteristieke functie van het motorbesturingssysteem is 1 + K / s (1 + s) = 0.

F (s) = 1 / s (1 + s).

Herken een "geschikt" systeem. In een geschikt systeem m < n, het aantal nullen is strikt minder dan het aantal polen. Dat wil zeggen dat het systeem oneindige overgangen niet omkeert of tolereert.

Ken de betekenis van de takken. Takken zijn paden die de wortels van de karakteristieke functie creëren wanneer de waarde van de winst K Het varieert van nul tot oneindig. Elke waarde van K Het geeft een nieuwe karakteristieke functie met verschillende wortels.

Als je verschillende waarden wilt gebruiken K in de karakteristieke vergelijking en los de polynomen op om de wortels te krijgen, of je nu een computer of grafische methoden als de plaats van wortels moet gebruiken om de oplossingen te schetsen.

Methode 2

Teken de plaats van de wortels

Leer de basisregel. Een wortellocatie is symmetrisch ten opzichte van de as van het complexe vlak.

Leer de eerste en de eenvoudigste regel om de plaats van de wortels te tekenen. Het aantal takken van de wortelplaats is hetzelfde als het aantal wortels van D (s)- dat is het aantal polen van F (s).

De eenvoudige integrator heeft een paal. Het heeft een filiaal.

Het motorregelsysteem heeft twee polen, één in s = 0 en de andere in s = - 1. Het heeft twee takken.

Blijf de tweede eenvoudigste regel leren. wanneer K Het varieert van nul tot oneindig, de takken van de wortels kunnen asymptotisch tot in het oneindige naderen.

Al deze asymptoten kruisen elkaar op een punt op de echte lijn.

Het punt van kruising wordt het punt genoemd σ-.

Bereken het punt σ- van,

Voeg alle polen toe en trek er vervolgens het resultaat van de optelling van alle nullen van af. Verdeel het resultaat nu door het verschil tussen de cijfers van de polen en het aantal nullen.

Het sigma-punt voor de eenvoudige integrator is σ = 0

Het sigmapunt voor motorbesturing is σ = (0 - 1) / 2 = - 1/2

Verwar Asymptoten niet met takken. De asymptoten nemen de takken tot in het oneindige.

Vergeet niet dat vertakkingen met een rechte lijn hun eigen asymptoten zijn, als ze naar het oneindige gaan.

Leer wat een nul is tot in het oneindige. In alle gevallen waar m < n, een waarde van s _{→ ∞} het maakt F (s) → 0. Dit wordt een nul tot oneindig genoemd.

Interpreteer uit vergelijking 7 die je kunt manipuleren om te hebben F (s) = - 1 / K. Dit betekent dat K = 0 geledenF (s) = ∞. Maar dat weet je F (s) het wordt oneindig in zijn eigen polen. Daarom beginnen de takken van de wortels altijd vanaf de polen, waar tegelijkertijd K Het is nul.

Er wordt eenvoudigweg geconcludeerd dat er altijd filialen zijn n stijgend (van oorsprong) uit de polen n F (s).

Vraag jezelf af, waar landen de takken? De takken m eindigen in nullen m. De resterende takken n - m ga naar oneindig, wat wordt beschouwd als nullen tot oneindig.

Waardeer de derde regel. De derde regel bepaalt de hoeken van asymptoten die de takken van de wortellocus richten. Dit is gelijk aan 180 ° / (n - m).

Gebruik de symmetrie om alle asymptoten te tekenen.

Leer hoe een tak zich van een paal verwijdert. Dit wordt de hoek van genoemd vertrek van de tak van de paal. Gebruik deze relatie Bestudeer wat elke factor is,

J: is de index van de onderzochte paal. U moet de starthoek van die specifieke pool berekenen.

φ_J : is de wedstrijdhoek van de paal J.

p_J : is de complexe waarde van de onderzochte pool.

i: dwaal tussen het aantal nullen van de eerste nul ( i = 1) al m-de nul (ik = m).

p_J - z_ik : is de evaluatie van p_J in z_ik.

k: dwaal tussen het aantal palen van de eerste paal ( k = 1) tot n-de paal (k = n).

k = J doet blijkbaar niet mee. Maar zelfs als het niet zo is, heeft het geen betekenis - zo blijkt p_J - p_J = 0- zonder deelname.

p_J - p_k : is de evaluatie van p_J in p_k.

arg : geeft aan dat u de kleinste hoek van de vector binnen de haakjes berekent [...] met betrekking tot de echte as.

q: het is een vreemd geheel getal. Meestal gewoon q = 180 ° is voldoende.

Begrijp de betekenis van de bovenstaande vergelijking. Je moet de starthoek van een bepaalde paal kennen, dan

Bepaal de hoek van elke nul geëvalueerd door die pool. Leg ze samen.

Bepaal de hoek van elke pool geëvalueerd door die pool. Leg ze samen.

Trek de twee van elkaar af.

Voeg 180 ° toe aan het resultaat (soms moet u toevoegen - 180 ° of zelfs 540 °, of - 540 °).

Leer hoe een tak naar een nul toe beweegt. Dit wordt de hoek van genoemd aankomst van de tak naar een nul. Gebruik deze relatie om het te berekenen. Bestudeer wat elke factor is,

J: is de nul-index die wordt onderzocht. U moet de beginhoek van deze specifieke nul berekenen.

ɸ_J: is de starthoek bij nul J.

z_J: is de complexe waarde van nul onderzocht.

k: dwaal tussen het aantal palen van de eerste paal ( k = 1) tot n-de paal (k = n).

z_J - p_k : is de evaluatie van z_J in p_k.

i: dwaal tussen het aantal nullen van de eerste nul ( i = 1) al m-de nul (ik = m).

ik = J doet blijkbaar niet mee. Maar zelfs als het niet zo is, heeft het geen betekenis - zo blijkt z_J - z_J = 0- zonder deelname.

z_J - z_ik : is de evaluatie van z_J in z_ik.

arg : geeft aan dat u de kleinste hoek van de vector binnen de haakjes berekent [...] met betrekking tot de echte as.

q: het is een vreemd geheel getal. Meestal gewoon q = 180 ° is voldoende.

Begrijp de betekenis van de bovenstaande vergelijking. Je moet de starthoek op een bepaalde nul kennen, dan

Bepaal de hoek van elke pool geëvalueerd door die nul. Leg ze samen.

Bepaal de hoek van elke nul geëvalueerd door die nul. Leg ze samen.

Trek de twee van elkaar af.

Voeg 180 ° toe aan het resultaat (soms moet u toevoegen - 180 ° of zelfs 540 °, of - 540 °).

Meer informatie over de weeshaakjes. De takken die de polen verlaten zonder een nul te bereiken zullen het oneindige naderen langs de zijden van de asymptoten van de voogd.

Vier dat je nu hier bent. Laat enkele gespecificeerde punten liggen om de schets realistischer te maken. Dit gebeurt door het testpunt te evalueren of door een eenvoudige rekenmachine te gebruiken (de tijden waarop je de pijnlijke rekenregels moest gebruiken). De beste punten om te vinden en de meeste verontrustende punten zijn ook "kruisende" punten van de "wortelplaats" op de denkbeeldige assen. Dit zijn de punten die het oscillerende systeem maken en vervolgens, in de aangegeven helft van het complexe vlak, wordt het systeem niet-dempend en onstabiel.

Delen op sociale netwerken:

Verwant