Hoe getallen van 1 tot N toe te voegen

Gehele getallen zijn getallen zonder breuken of decimale componenten. Als een wiskundeprobleem vereist dat een bepaald aantal gehele getallen van 1 wordt toegevoegd aan een specifieke N-waarde, is het niet nodig om elke waarde toe te voegen. In plaats daarvan kan de vergelijking worden gebruikt om tijd, moeite en gezondheid te besparen (N (N + 1)) / 2

Inhoud

Stappen

Gebruik bedragen van 1 tot n om de som van gehele getallen tussen twee getallen te vinden

Tips
Waarschuwingen

, waarbij N het hoogste nummer van je set is.

stappen

Titel afbeelding Sum the Integers van 1 tot N Stap 1

Definieer het hoogste aantal dat als N. wordt toegevoegd. Voeg gehele getallen van 1 toe aan een willekeurig aantal N vereist dat u dit nummer als volledig en positief op zichzelf definieert. Ter herinnering, gehele getallen zijn getallen die geen decimalen of breuken bevatten. Het kan ook niet negatief zijn.
Stel dat we alle gehele getallen van 1 tot 100 willen toevoegen. In dit geval gebruiken we 100 als onze N-waarde, omdat dit het laatste getal in de set is of, met andere woorden, het hoogste getal dat moet worden toegevoegd.

Titel afbeelding Sum the Integers from 1 to N Step 2

Vermenigvuldig N met (N + 1) en deel door 2. Wanneer u de gehele waarde van N hebt gedefinieerd, voert u deze in de vergelijking (N (N + 1)) / 2 in. Deze vergelijking vindt de som van alle gehele getallen tussen 1 en N.

In ons voorbeeld introduceren we 100, onze waarde voor N, in de vergelijking. Dus (N (N + 1)) / 2 wordt (100 (100 + 1)) / 2.

Titel afbeelding Sum the Integers from 1 to N Step 3

Los het op om het antwoord te vinden. De uiteindelijke waarde die u uit deze vergelijking haalt, vertegenwoordigt de som van alle getallen tussen 1 en uw waarde voor N.

Laten we ons voorbeeldprobleem oplossen:

(100 (100 + 1)) / 2 =

(100 (101)) / 2 =

(10100) / 2 =

5.050. De som van alle gehele getallen van 1 tot 100 is 5050.

Titel afbeelding Sum the Integers from 1 to N Step 4

Begrijp hoe de vergelijking is afgeleid (N (N + 1)) / 2. Laten we teruggaan naar ons voorbeeldprobleem. Scheid mentaal in twee groepen de set 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100, een van 1 tot 50 en een andere van 51 tot 100. Als u het eerste nummer in de eerste groep (1) toevoegt aan het laatste nummer in de tweede groep (100), krijg je 101. Je krijgt ook 101 als je 2 tot 99, 3 tot 98, 4 tot 97, etc. toevoegt. Als we op deze manier elk nummer van de eerste toewijzen aan het bijbehorende nummer in de tweede groep, krijgen we 50 paren getallen die allemaal hetzelfde zijn: 101. Dus, 50 x 101 = 5050, is de som van gehele getallen van 1 tot 100 Merk op dat 50 de helft is van 100 en 101 is 100 + 1. In feite verifieert deze waarneming de som van elk positief geheel getal. De bewerkingen van de componenten ervan kunnen in twee groepen worden "gebroken" en vervolgens kunnen de nummers van deze groepen aan elke groep worden toegewezen, zodat de som van elk paar hetzelfde resultaat oplevert. Houd er rekening mee dat oneven nummers een cijfer apart laten, maar dit heeft geen invloed op het eindresultaat.

In het algemeen kan worden gezegd dat voor elk nummer N de som van de getallen van 1 tot N gelijk is aan (N / 2) (N + 1). De vereenvoudigde vorm van deze vergelijking is (N (N + 1)) / 2, onze vergelijking van de som van gehele getallen.

Gebruik bedragen van 1 tot N om de som van gehele getallen tussen twee getallen te vinden

Titel afbeelding Sum the Integers from 1 to N Step 5

Bepaal of je de som inclusief of exclusief gaat maken. Normaal gesproken wordt u in plaats van dat u de som van een set gehele getallen van 1 naar een bepaald getal zoekt, gevraagd om de som te vinden van een reeks getallen tussen N₁ en N₂, waar N₁ is> N₂ en beide zijn> 1. Het proces om deze som te vinden is relatief eenvoudig, maar voordat het begint, moet het bepalen of de som exclusief is of niet. Met andere woorden, als het N is₁ en N₂ of alleen de gehele getallen ertussen, omdat het proces enigszins verandert afhankelijk van dit onderscheid.

Titel afbeelding Sum the Integers from 1 to N Step 6

Om de som van gehele getallen tussen twee getallen N te vinden₁ en N₂, Zoek de som van de kleinste N-waarde afzonderlijk en trek deze af. Meestal hoeft u alleen de som van de kleinste N-waarde af te trekken van de som van de grootste N-waarde om uw antwoord te vinden. In elk geval, Zoals hierboven vermeld, is het belangrijk om te weten of het op een exclusieve manier is toegevoegd of niet. De som van de opgenomen aantallen vereist dat 1 van de waarde van N wordt afgetrokken₂ voordat het in de vergelijking wordt opgenomen, terwijl het toevoegen van uitsluitende getallen vereist dat 1 van de waarde van N wordt afgetrokken₁.

Laten we zeggen dat u wordt gevraagd om de som te vinden opgenomen van de nummers tussen N₁ = 100 en N₂ = 75. Met andere woorden, je moet 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 vinden. Hiervoor moet je de som van gehele getallen van 1 tot N vinden₁ en trek dan de som van gehele getallen af van 1 tot N₂ - 1. Vergeet niet dat wanneer u getallen toevoegt, u 1 van N moet aftrekken₂, Oplossen als volgt:

(N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1)) / 2 =

(100 (100 + 1)) / 2 - (74 (74 + 1)) / 2 =

5,050 - (74 (75)) / 2 =

5,050 - 5,550 / 2 =

5,050 - 2,775 = 2,275. De som van de opgenomen getallen van gehele getallen tussen 75 en 100 is 2275.

Laten we nu nummers toevoegen exclusief. De vergelijking is hetzelfde, behalve dat in dit geval 1 van N wordt afgetrokken₁ in plaats van N₂:

((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1)) / 2 =

(99 (99 +1)) / 2 - (75 (75 + 1)) / 2 =

(99 (100)) / 2 - (75 (76)) / 2 =

9.900 / 2 - 5.700 / 2 =

4.950 - 2.850 = 2.100. De exclusieve som van gehele getallen tussen 75 en 100 is 2.100.

Titel afbeelding Sum the Integers from 1 to N Step 7

Begrijp hoe dit proces werkt. Denk aan de som van gehele getallen van 1 tot 100 als 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 en de som van gehele getallen van 1 tot 75 als 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. Het vinden van de som van gehele getallen tussen 75 en 100 betekent het vinden van 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. De sommen van 1 - 75 en 1 - 100 zijn hetzelfde tot 75 - op dit punt, de som van 1 - 75 het stopt en de som van 1 - 100 ga verder met ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Om deze reden staat het aftrekken van de gehele som van 1 - 75 van de gehele som van 1 - 100 het toe Isoleer de gehele som van 75 - 100.

In elk geval, als getallen worden opgenomen, moet de som van 1-74 worden gebruikt in plaats van de som van 1 - 75 om zeker te zijn dat 75 in de uiteindelijke som in zichzelf is inbegrepen.

Evenzo, als u uitsluitingsnummers toevoegt, moet u de som van 1 - 99 gebruiken in plaats van de som van 1 - 100 om ervoor te zorgen dat 100 niet is inbegrepen in de som. De som van 1 - 75 kan worden gebruikt omdat het aftrekken van de som van 1 - 99 75 uitsluit van de uiteindelijke som.

tips

Het resultaat is altijd een geheel getal omdat zowel n als n + 1 gelijk zijn en kunnen worden gedeeld door 2.
Som (a + b) = Som (1 + b) - Som (1 + (a-1))
Samenvattend: Som (1 + n) = n (n + 1) / 2

waarschuwingen

Hoewel het niet erg moeilijk is om negatieve getallen te generaliseren, is deze gids uitsluitend voor alle positieve gehele getallen N, waarbij de minimumwaarde van N 1 is.

Delen op sociale netwerken:

Verwant