Hoe de Mandelbrot-set handmatig te tekenen

De Mandelbrot-set bestaat uit twee punten die in een complex vlak zijn getekend om een te vormen fractal: een indrukwekkende vorm of vorm waarin elk onderdeel een miniatuurkopie van een geheel is. De ongelooflijke en ongelooflijke afbeeldingen verborgen in de Mandelbrot-set waren mogelijk om te zien in de jaren 1500 dankzij Rafael Bombelli`s begrip van de imaginaire getallen, maar het was niet totdat Benoit Mandelbrot en anderen begonnen met de verkenning van fractals met de hulp van de computers

Inhoud

Stappen
Tips
Waarschuwingen

die het geheim van het universum openbaarde.

Nu het bestaat, kun je het op een primitieve manier benaderen: handmatig. Hier hebben we een methode om een gewone weergave van het geheel te zien, alleen om te begrijpen hoe het gedaan is, dan zul je een diepere waardering krijgen voor de representaties die je kunt maken met behulp van de vele open source computerprogramma`s die beschikbaar zijn of die je kunt zien in een CD-ROM en a DVD

stappen

Begrijpt de basisformule, vaak uitgedrukt als z = z + c. Het betekent eenvoudig dat voor elk punt in het Mandelbrot-universum dat u wilt zien, de berekening van z tot er een of twee omstandigheden optreden - en vervolgens de kleur om aan te geven hoeveel berekeningen zijn gemaakt. Maak je geen zorgen! Dat met de volgende stappen zal meer begrijpelijk zijn.

Heb 3 potloden of kleurpotloden van verschillende kleuren, of markers met viltpunt, plus a potlood of zwarte potloodpen om de rand te maken. De reden waarom de drie kleuren nodig zijn, is omdat de eerste benadering wordt gemaakt met niet meer dan 3 iteraties (passen of met andere woorden, de formule maximaal 3 keer per punt toepassen):

Met een marker zwart, gelijkspel trekt een bord drie op een rij, 3 bij 3 vierkanten op een vel papier papier.

Markeer (ook in het zwart) het vierkant van het midden (0, 0). Dit is de waarde van de constante (c) vanaf het punt in het exacte midden van het plein. Nu is elk vierkantje 2 eenheden breed. Dus optellen of 2 aftrekken van de waarden van x y en van elk vierkant, met x zijnde het eerste nummer e en het tweede nummer zijn. Als je klaar bent, ziet dit eruit zoals in de afbeelding. Als je de cellen naar de crossover volgt, moeten de waarden van Y (het tweede getal) hetzelfde zijn als je de onderstaande cellen volgt, de waarden van X (het eerste getal) Ze zouden hetzelfde moeten zijn.

Bereken de eerste pas of iteratie van de formule. Omdat je de computer bent (wat je echt bent, was de oorspronkelijke betekenis van het woord "persoon die berekent") Je kunt het alleen doen. Begin met de volgende vermoedens:

De beginwaarde van z van elk vierkant is (0, 0). Wanneer de absolute waarde van z voor een bepaald punt groter is dan of gelijk aan 2, wordt gezegd dat dat punt (en het bijbehorende vierkant) ontsnapt uit de Mandelbrot-set. Wanneer dit gebeurt, kleur je het vierkant volgens het aantal iteraties van de formule die je op dat punt hebt toegepast.

Kies de kleuren die u wilt gebruiken voor stap 1, 2 en 3. U gebruikt de kleuren rood, groen en blauw respectievelijk voor de doeleinden van dit artikel.

Bereken de waarde van z voor de linkerbovenhoek van bord drie in de rij, uitgaande van een beginwaarde van z van 0 + 0i of (0, 0) (zie Tips om deze weergaven beter te begrijpen). We gebruiken de formule z = z + c zoals beschreven in de eerste stap. Je zult het snel zien, in dit geval, z + c het is eenvoudig c, omdat nulkwadraat nul is. En wat is c voor dit plein? (-2, 2).

Bepaal de absolute waarde van dit punt - de absolute waarde van een complex getal (a, b) is de vierkantswortel van a + b. Nu, zoals we het vergelijken met een bekende waarde: 2, we kunnen voorkomen dat we vierkant wortelen nemen door + b te vergelijken met 2, waarvan bekend is dat het gelijk is aan 4. In deze berekening, a = -2 en b = 2.

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8 is veel groter dan 4.

U bent na de eerste berekening uit de Mandelbrot-set ontsnapt, dus de absolute waarde is groter dan 2. Kleur deze in met de pen die u hebt gekozen voor stap 1.

Mandelbrot_set_419.jpg" class ="afbeelding lightbox"> Titel afbeelding Mandelbrot_set_419

Doe hetzelfde voor elk vierkant op het bord, behalve het middenvierkant, dat niet zal ontsnappen uit de Mandelbrot-set voor de derde stap (en het zal ook nooit ontsnappen). Je hoeft dus alleen de kleur uit stap 1 te gebruiken voor alle externe vierkanten en de kleur uit stap 3 voor het middelste vierkant.

Teken een vierkant dat drie keer zo groot is, 9 voor 9, maar nog steeds een maximum van 3 iteraties behouden.

Begin met de derde regel of rij naar beneden, want hier wordt het interessant.

Het eerste element (-2, 1) is groter dan 2 (omdat (-2) + 1 5) is, dus kleur het rood, omdat dit uit de Mandelbrot-set in de eerste passage ontsnapt.

Het tweede element, (-1,5, 1), blijkt niet groter te zijn dan 2. Het past de formule toe voor de absolute waarde, x + y, met x = -1,5 en y = 1:

(-1,5) = 2,25

1 = 1

2,25 + 1 = 3,25, minder dan 4, dus de vierkantswortel is minder dan 2.

Ga dus door naar de tweede stap, bereken z + c met behulp van de snelkoppeling (x-y, 2xy) voor z (zie Tips over hoe deze snelkoppeling is afgeleid), ga verder met x = -1,5 en y = 1:

(-1,5) - 1 beurten 2,25 - 1, dat is 1.25-

2xy, omdat x -1,5 e is en y 1 is, wordt het 2 (-1,5), wat produceert -3.0-

Dit geeft je een z van (1,25, -3)

Nu toevoegen c voor deze cel (voeg x toe aan x, y aan y) resulterend (-0,25, -2)

Test of de absolute waarde nu groter is dan 2: bereken x + y:

(-25) = 0,0625

-2 = 4

0.0625 + 4 = 4.0625, de vierkantswortel is groter dan 2, omdat deze waarde ontsnapt na de tweede iteratie: het is de eerste groen!

Omdat u al bekend bent met de berekeningen, kunt u soms zien aan welke personen de Mandelbrot-set ontsnapt door alleen naar de cijfers te kijken. In dit voorbeeld heeft de y-component een magnitude van 2, die bij kwadrateren en het optellen van de waarde van het andere gekwadrateerde getal groter is dan 4. Elk getal groter dan 4 heeft een vierkantswortel groter dan 2. Zie hieronder Advies voor een meer gedetailleerde uitleg.

Het derde element met een waarde van c (-1, 1) ontsnapt niet uit de eerste passage: omdat zowel 1 als -1 bij het nemen van de vierkantswortel 1 is, is x + y 2. Bereken vervolgens z + c met behulp van de snelkoppeling (xy , 2xy) voor z:

(-1) -1 wordt 1-1, dat is 0-

2xy is dan 2 (-1) = -2-

z = (0, -2)

Het toevoegen van c geeft (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

Het blijft dezelfde absolute waarde als voorheen (de vierkantswortel van twee, ongeveer 1.41) - en gaat verder met een derde iteratie:

([-1]) - ([- 1]) wordt 1-1, dat is 0 (nog een keer) ...

Maar nu is 2xy 2 (-1) (-1), die 2 is positief, wat resulteert in een z-waarde van (0, 2)

Als we c toevoegen, verkrijgen we (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), die een a + b heeft van 10, veel groter dan 4.

Daarom ontsnapt het ook. Kleur de cel met de derde kleur en ga verder met de volgende, omdat alle drie de iteraties op dit punt zijn voltooid.

De reden voor het gebruik van slechts drie kleuren wordt hier blijkbaar een probleem, omdat iets dat na slechts drie iteraties ontsnapt hetzelfde is (0, 0) nooit ontsnappen - je zult duidelijk niets zien "fout" van Mandelbrot op dit niveau van detail.

Ga door met het berekenen van elke cel totdat je ontsnapt of het maximale aantal iteraties hebt bereikt (het aantal kleuren dat je gebruikt: 3 in dit voorbeeld), op het moment van kleuren. Net zoals de matrix van 9 bij 9 3 iteraties in elk vierkant houdt ... Het lijkt correct te zijn!

Herhaal dezelfde matrix opnieuw met meer kleuren (iteraties) om de volgende lagen te tonen, of beter, teken een veel grotere matrix voor een project van langere duur. Krijg nauwkeurigere afbeeldingen door:

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533

Verhoog het aantal cellen, je hebt 81 per zijde. Zie de gelijkenis van de matrix van 9 bij 9 hierboven, maar de veel zachtere randen in de cirkel en ovaal.

Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797.jpg" class ="afbeelding lightbox">

Titel afbeelding Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797

Verhoog het aantal kleuren (iteraties) - je hebt 256 tinten rood, groen en blauw voor een totaal van 768 kleuren in vergelijking met 3. Nu kun je de rand van het bekende zien "meer " van Mandelbrot (of "fout " afhankelijk van hoe je het zoekt). De onderkant is de hoeveelheid tijd die het kost, als je elke iteratie in 0 seconden kunt berekenen, wat ongeveer 2 uur per cel is of in de buurt van het meer van Mandelbrot. Hoewel het een relatief klein deel van de 81 bij 81 matrix is, zou het nog een jaar duren om het waarschijnlijk af te maken, zelfs door vele uren werk per dag te gebruiken. Dit is waar de harde schijf van de computer van pas komt.

tips

Waarom z = (x-y, 2xy)?

naar vermenigvuldigen twee complexe getallen zoals (a, b) met (c, d), gebruik de volgende formule, hierin uitgelegd Mathworld-artikel: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + advertentie)
Houd er rekening mee dat een complex getal een rol speelt "echt" en a "denkbeeldig", de laatste is een reëel getal vermenigvuldigd met de vierkantswortel van het negatief van 1, vaak toegewezen als ik. Het complexe getal (0, 0) is bijvoorbeeld 0 + 0i en (-1, -1) is (-1) + (-1 * i).
Ben je er nog? Onthoud dat naar en c het zijn voorwaarden echt, en b en d Voorwaarden denkbeeldig. Dus als de denkbeeldige termen samen worden vermenigvuldigd, zal de vierkantswortel van 1 negatief vermenigvuldigd met zichzelf 1 negatief zijn, waardoor het resultaat negatief wordt en verandert in feitelijk de cijfers advertentie en bc ze blijven imaginair, omdat de vierkantswortel van negatieve 1 nog steeds een term van dat product is. Daarom hebben we als deel deelgenomen echte en bc + advertentie als het onderdeel denkbeeldig.
Daar nu krijgen wij de vierkantswortel van getallen in plaats van twee verschillende getallen te vermenigvuldigen, kan worden vereenvoudigd wat, omdat a = b = c en d, hebben wij het product als (a-b, 2ab). En de "complex vlak" naar het "Cartesische vlak" met de as X die het reële getal en de as vertegenwoordigt en die het imaginaire getal vertegenwoordigt, wordt het ook wel aangeduid als(x-y, 2xy).

Als u een cel opnieuw en opnieuw berekent en je beseft dat het een gevolg precies zoals degene die je verdiend voor die cel, zul je beseffen dat je gevangen zit in een laso zonder eindelijk die cellen zal nooit ontsnappen. Je kunt dus een kortere weg nemen, die cel inkleuren met de uiteindelijke kleur en naar de volgende gaan, (0,0) het is duidelijk een van die cellen.

Wil je meer weten over het schatten van de absolute waarde van een complex getal zonder veel berekeningen te maken?

De absolute waarde van een complex getal (a, b) is de vierkantswortel van a + b, gelijk aan de formule van de rechte driehoek, omdat naar en b ze zijn haaks op elkaar weergegeven op het Cartesiaanse raster (respectievelijk de x- en y-coördinaten). Daarom, zoals bekend aan de Mandelbrotverzameling is gekoppeld aan de waarde van 2 en twee kwadraat 4, wordt vermeden dat denken wortels alleen waarnemen als x + y >= 4

Als een van de hoekpunten van driehoek recht heeft lengte >= 2, dan is de hypotenusa (schuine zijde) moet ook langer zijn dan 2. Als je ziet is niet, trekt een rechthoekige driehoek in een cartesiaanse net en zal duidelijk zijn, of na te denken over dit: 2 = 4 en voeg een ander positief getal zodat (en een negatief nummer altijd positief is) niet iets kan zijn minder dan 4. Indien derhalve een onderdeel x- of y een complex getal met een waarde van 2 of meer is, de absolute waarde van het getal groter of gelijk aan twee, dan ontsnapt Mandelbrot.

Om de te berekenen "virtuele breedte" van elke cel, verdeelt de "virtuele diameter" in de "aantal cellen kleiner dan één". een virtuele diameter van 4 in de bovenstaande voorbeelden werd gebruikt, omdat ze willen allemaal binnen de straal 2 weergegeven (Mandelbrto samenstel is gekoppeld aan de waarde 2). Voor de benadering van de 3 gezichten / zijkanten, waar 4 / (3 - 1), wat is 4/2, resultaat 2. Voor het kwadraat van de 9 zijden is het 4 / (9 - 1), wat is 4/8, resultaat 0.5. Gebruik dezelfde grootte van de virtuele cel voor zowel hoogte als breedte, zelfs als u de ene kant langer maakt dan de andere, anders wordt deze vervormd.

waarschuwingen

Wiskunde kan verslavend zijn, net als andere dingen, maar het is zeker dat ze geen schade aanrichten of longkanker veroorzaken.

Delen op sociale netwerken:

Verwant