Hoe een Euclid-test op de middelbare school af te ronden

Euclidische geometrie is een van de eerste wiskundige velden die "bewijzen" vereisen in plaats van "berekeningen". Schrijftesten is de meest gebruikelijke manier waarop de wiskunde communiceert dat de resultaten waar zijn en waarom. Het hele veld is gebouwd door de 5 postulaten van Euclides.

Inhoud

Stappen

Methode 1voorbereiding
Methode 2formele test

Waarschuwingen

stappen

Methode 1
voorbereiding

Alles in deze sectie wordt beschouwd als volledig nieuw werk. Het maakt geen deel uit van de demonstratie, maar het uitvoeren van deze stappen zal u helpen later een correcte en efficiënte demonstratie te schrijven. Het is moeilijk om een wiskundig bewijs van het niets te schrijven - je moet jezelf begrijpen waarom het werkt voordat het als bewijs wordt doorgegeven.

Lees de verklaring van het probleem. Begrijpt definities van alle termen in zowel de gegevens die ze geven als in de voorgestelde conclusie.

Teken een diagram van de situatie. Maak alle hoeken en afstanden zo nauwkeurig en geschaald mogelijk. Markeer alle relevante punten, hoeken en afstanden. Let op hoe elk van de gegeven aannames zich in het diagram manifesteert.

Teken het diagram opnieuw. Je eerste versie zal waarschijnlijk op de een of andere manier inadequaat zijn. Misschien ben ik te vol in staat zijn om duidelijk te lezen was, misschien wel de kruising van een paar belangrijke lijnen van de pagina, misschien zei dat je asumieras drie middelloodlijnen hoeken van een vierhoek snijden in een enkel punt en dat gebeurt niet in degene die je tekende. In ieder geval heb je iets geleerd van de eerste poging die je tweede poging beter zal maken.

Maak waarnemingen van het diagram. Zie je twee gelijke lengtes? Zo ja, kunt u het proberen? Welke plausibele hypothese, als het waar is, zou je helpen de gewenste conclusie te vinden? Schrijf een relatie tussen verschillende delen van het diagram die u kunt afleiden uit uw aannames. Opmerking: het is hier wanneer een nauwkeurig diagram helpt. Als twee hoeken "ongelijk" lijken, dan weet je dat geen enkel bewijs dat juist is, de bewering inhoudt dat ze gelijk zijn. Met een onnauwkeurig diagram weet je het nooit.

Vergeet niet eerdere resultaten te observeren die u kunnen helpen. Het komt vaak voor dat wiskundige resultaten afhangen van eerder werk. Help: Als een stelling heeft een naam als de Stelling van Pythagoras of CPCTC afkorting voor "driehoekjes Congruent overeenkomstige delen congruent zijn" waarschijnlijk wordt vaak gebruikt in latere resultaten dus zorg ervoor dat u ze begrijpt.

Het werkt ook in omgekeerde volgorde. Probeer te raden vanaf de tweede tot de laatste regel van de test. Als je wilt laten zien dat de gebieden met twee driehoeken gelijk zijn, wat heb je dan nodig? Misschien zijn ze congruent, maar dat is een sterker resultaat. Als de rand van de ene congruent is met de rand van de andere, kunt u dan controleren of de overeenkomstige hoogten ook dezelfde lengte hebben?

Wanneer u een manier hebt gevonden om de beginvoorwaarden logisch te koppelen aan de conclusie, schetst u de test. Markeer de belangrijke tussenstappen en de belangrijkste stellingen die nodig zijn om ze af te leiden.

Methode 2
Formele test

Als de achtergrond voldoende is, is het tijd om dat in een formele test om te zetten.

Teken een diagram. Dit hoeft niet heel precies en formeel te zijn, dit is helemaal niet verplicht, maar het helpt meestal wel. Noem alle punten, hoeken of andere kenmerken waarnaar u later in de test wilt verwijzen.

Geef de stelling aan. Vermeld de gegeven aannames en wat u van plan bent daaruit te concluderen.

Stel het formaat in voor een test met twee kolommen. Noem de kolom aan de linkerkant als "Verklaring" en de kolom aan de rechterkant als "Reden".

Herhaal alle gegevens in de eerste rijen van de test. Schrijf in de reden "gegeven". Hoewel sommige van de gegeven gegevens pas later zullen worden gebruikt, is er niets mis met het eerder vermelden ervan.

Richt op het eerste belangrijke tussenresultaat dat je in de voorbereidingsfase hebt gevonden. Schrijf elke stap op weg naar dat resultaat en motiveer elke stap met een juiste reden. De soorten aanvaardbare redenen zijn gering. Deze omvatten:

gegeven

definitie

Axioma (of postulaat)

Eerder bewezen stelling (of motto, formule, wet, etc.)

Als de reden een stelling is, zorg er dan voor dat u aangeeft wat en waarom dit van toepassing is. De volgende methoden zijn meestal acceptabel:

Laat het rusten (de 3 hoogten van een driehoek kruisen elkaar op een enkel punt)

Verwijzend naar hem bij naam (Tales Theorem)

Verwijzen naar een tekst (Stelling 5.3 op pagina 124)

Via een gestandaardiseerde afkorting (SAS)

Als aan een stelling voorwaarden zijn verbonden, moet u expliciet controleren hoe deze zijn vervuld. Bijvoorbeeld, als uw verklaring is dat de driehoek ABC is congruent aan de driehoek DEF, kunt u deze gedetailleerde verstand te gebruiken: BC = EF (lijn 5),

Blijf werken aan uw conclusie, en maak de andere belangrijke tussenstappen die u in het voorbereidende werk hebt gevonden. Zorg ervoor dat elke stap de vorige volgt.

De laatste regel van de test moet de gewenste conclusie zijn. Zoals met alle andere stappen, moet u het met de juiste reden rechtvaardigen.

Optioneel eindigt de test met QED, een doos of een vergelijkbaar teken.

waarschuwingen

Blijf alert op verborgen veronderstellingen. Er is een beroemde valse test, soms toegeschreven aan Lewis Carroll, dat alle driehoeken gelijkbenig zijn. De fout is subtiel als deze als zodanig wordt gepresenteerd. Alle driehoeken die beweren congruent te zijn, zijn in feite congruent en om dezelfde redenen al vermeld. Er is een verborgen veronderstelling die wordt geïmpliceerd door een verkeerd gestuurd diagram. Een nauwkeurig diagram onthult de valse veronderstelling en laat zien waarom de test fout gaat.
In de inleidende cursussen geometrie is het gangbare formaten vereisen het gebruik van dubbele kolom of dergelijke, waarbij elke fase van de procedure gerechtvaardigd is. In geavanceerder werk is dit minder gebruikelijk omdat excessieve striktheid de aandacht kan afleiden van belangrijke ideeën. Toch is de verwachting dat een informele proef paragraaf kan, op aanvraag, om een volledige en strenge tests, met een expliciete rechtvaardiging voor elke stap worden.

Delen op sociale netwerken:

Verwant

Hoe een Euclid-test op de middelbare school af te ronden

stappen

Methode 1voorbereiding

Methode 2Formele test

waarschuwingen

Methode 1
voorbereiding

Methode 2
Formele test